Forum:  Topologie
Thema: Urbild abgeschlossener Menge
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WagW
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Themenstart: 2020-12-01 11:33

Hallo zusammen,

wir haben den Satz:

Sei $f:M\to N $ eine stetige Funktion. Dann hat jede abgeschlossene Menge aus $N$ ein abgeschlossenes Urbild unter $f$.

Hierzu ein Beispiel

$f:(0,\infty)\times [0,\infty)\to\mathbb{R}$ mit $f(x,y)=x+y$.

Betrachten wir nun das Urbild $f^{-1}(1)$ bzw. $D:=\{(x,y)\in (0,\infty)\times [0,\infty)\mid f(x,y)=1\}$ dann folgt aus obigem Satz, dass $D$ abgeschlossen ist. Man kann aber relativ schnell ein Gegenbeispiel konstruieren anhand dessen man sieht, dass $D$ nicht alle Häufungspunkte enthält und damit nicht abgeschlossen ist.

Wie passt das zusammen?

viele Grüße
WagW


shipwater
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01 11:41

D ist abgeschlossen in M und das ist in dem Satz auch eigentlich gemeint.

Gruß Shipwater



shipwater
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-01 11:46

Nimm ein einfacheres Beispiel: \(f:(0,1)\to \mathbb{R}, f(x)=1\) dann ist \(f^{-1}(1)=(0,1)\) auch nicht abgeschlossen in \(\mathbb{R}\) wohl aber abgeschlossen in \((0,1)\).


StrgAltEntf
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-01 11:49

2020-12-01 11:33 - WagW im Themenstart schreibt:
Man kann aber relativ schnell ein Gegenbeispiel konstruieren anhand dessen man sieht, dass $D$ nicht alle Häufungspunkte enthält und damit nicht abgeschlossen ist.
Dann gib doch mal solch ein Gegenbeispiel an.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


WagW
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01 11:53

Hallo StrgAltEntf,

nimm bspw. den Punkt $(0,1)$.

viele Grüße
WagW


StrgAltEntf
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-01 12:10

2020-12-01 11:53 - WagW in Beitrag No. 4 schreibt:
nimm bspw. den Punkt $(0,1)$.
Hallo WagW, nur Punkte aus M können Häufungspunkte von Teilmengen aus M sein.


WagW
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01 12:22

Ah o.k. aber was wäre denn, wenn man in der Aussage annimmt, dass $M\subseteq X$ ist, also $f:M\subseteq X \to N$?

Also in meinem Gegenbeispiel wäre dann $X=\mathbb{R}^2$, dann würde mein Gegenspiel ja zeigen, dass diese "neue" Aussage falsch ist. Oder könnte man das noch irgendwie heilen?


shipwater
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-01 13:24

Wie gesagt: Das Urbild ist abgeschlossen in M. Damit passt doch alles.


WagW
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01 13:34

Ja das ist geklärt, aber was ist mit meiner Abänderung in Beitrag No. 6?


shipwater
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Beitrag No.9, eingetragen 2020-12-01 13:36

Was soll das ändern? Das Urbild ist dann immer noch abgeschlossen in M, aber nicht unbedingt abgeschlossen in X.

Gruß Shipwater


WagW
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Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01 14:04

2020-12-01 13:36 - shipwater in Beitrag No. 9 schreibt:
Was soll das ändern?[...]

Naja dann ändert sich Folgendes: im Falle $f:M\subseteq X\to N $ wäre die Aussage:

"Sei $f$ eine stetige Funktion. Dann hat jede abgeschlossene Menge aus $N$ ein abgeschlossenes Urbild unter $f$."

falsch.


Kezer
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Beitrag No.11, eingetragen 2020-12-01 15:47
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Inwiefern soll das falsch sein? Was soll $f:M \subseteq X \to Y$ überhaupt bedeuten? Wenn du eine Funktion $f:X \to Y$ möchtest, dann genügt es nicht, diese nur auf $M$ zu definieren. Und wie schon in dem Thread erwähnt, kann man (a priori) keine Aussagen über Räume über $M$ treffen - schließlich kann man $M$ in beliebig große topologische Räume einbetten, die $M$ enthalten und dessen Topologie mit $M$ kompatibel ist.

Die Aussage ist auch schön genug, so wie sie ist: Es ist eine fundamentale Aussage aus der Topologie (nun ja, es ist genau die Definition von Stetigkeit): Eine Funktion $f :X \to Y$ zwischen topologischen Räumen heißt stetig, wenn Urbilder abgeschlossener (resp. offener) Mengen abgeschlossen (resp. offen) ist.

Euer Satz beweist, dass die naiven Begriffe der Offenheit und Abgeschlossenheit aus der Analysis 1/2 mit den allgemeinen topologischen Begriffen tatsächlich zusammenpassen.

Vielleicht hilft dir auch Folgendes:
1) Mache dir klar, dass man abgeschlossen durch offen ersetzen kann und das eine äquivalente Aussage ist.
2) Mache dir klar, dass die neue Aussage nun prinzipiell der $\varepsilon$-$\delta$-Stetigkeit aus der Analysis entspricht.
\(\endgroup\)

WagW
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Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01 16:14

Hallo Kezer,

2020-12-01 15:47 - Kezer in Beitrag No. 11 schreibt:
Inwiefern soll das falsch sein? Was soll $f:M \subseteq X \to Y$ überhaupt bedeuten? [...]

das bedeutet einfach nur, dass der Definitionsbereich $M$ von $f$ eine Teilmenge von $X$ ist. Damit kann dann $M$ in $X$ offen, nicht offen, abgeschlossen etc... sein.

viele Grüße
WagW


Kezer
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Beitrag No.13, eingetragen 2020-12-01 21:03
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Dann solltest du schreiben $f:M \to Y$ mit $M \subseteq X$. Deine Notation suggeriert eine Komposition $M \hookrightarrow X \to Y$.

Außerdem ist das dann exakt dieselbe Aussage wie im Themenstart, die Topologie von $M$ ist (implizit) durch die Relativtopologie gegeben.
\(\endgroup\)

WagW
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Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01 22:06

2020-12-01 21:03 - Kezer in Beitrag No. 13 schreibt:
[...]

Außerdem ist das dann exakt dieselbe Aussage wie im Themenstart, die Topologie von $M$ ist (implizit) durch die Relativtopologie gegeben.

Da verstehe ich nicht wie Du das meinst.

Also ich dachte jetzt, dass wenn man nichts weiter zu einer Obermenge von $M$ angibt, dann wird Offenheit/Abgeschlossenheit immer in Bezug zu $M$ selbst betrachtet. Damit wäre meine eingangs getätigte Aussage:

"Sei $f:M\to N $ eine stetige Funktion. Dann hat jede abgeschlossene Menge aus $N$ ein abgeschlossenes Urbild unter $f$."

wahr.

Wenn ich aber jetzt plötzlich eine Obermenge $X$ einführe auf die sich alle weiteren Mengen beziehen, also auch $M\subseteq X$, dann sieht man ja anhand meines Gegenbeispiels, dass die Aussage:

"Sei $f:M\to N $ eine stetige Funktion. Dann hat jede abgeschlossene Menge aus $N$ ein abgeschlossenes Urbild unter $f$."

falsch wird.


Kezer
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Beitrag No.15, eingetragen 2020-12-01 22:18
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Nein, wie gesagt wird die Topologie von $M$ durch die Relativtopologie gegeben. Offenheit und Abgeschlossenheit ist ein Datum eines topologischen Raumes, hier induziert $X$ eine Topologie auf $M$ und diese wird verwendet. Ob dein Urbild abgeschlossen in $X$ ist oder nicht, tut hier nicht zur Sache.
\(\endgroup\)

StrgAltEntf
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Beitrag No.16, eingetragen 2020-12-01 23:06

@WagW: Um es noch einmal auf den Punkt zu bringen.

Ist X ein top. Raum und \(Y\subseteq X\) mit der Relativtopologie versehen, dann ist eine in Y abgeschlossenen Menge nicht notwendigerweise abgeschlossen in X.


WagW
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Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02 13:09

Ich habe heute nochmal mit unserem Tutor gesprochen und um die Verwirrung komplett zu machen, hat er hat mir gesagt, dass der Satz so tatsächlich falsch ist. Korrekterweise hätte der Satz lauten müssen:


"Sei $f:M\to N$ mit $M\subseteq X$ dann gilt:

$f$ ist stetig $\iff$ für jede in $N$ abgeschlossene Menge $S$ existiert eine in $X$ abgeschlossene Menge $Q$ mit $f^{-1}(S)=Q\cap M$."
___________

Also ist das Urbild einer abgeschlossenen Menge nicht unbedingt abgeschlossen (also in Bezug auf $X$).

Mir fehlen da jetzt ehrlich gesagt die Kenntnisse, um das mit euren Erklärungen zusammen zu bringen, da ich noch keinen Topologiekurs hatte. Letztlich müssen doch aber die folgenden beiden Aussagen äquivalent sein.


1.) Ich betrachte eine Funktion $f$ zwischen zwei topologischen Räumen $X$ und $N$ (wie auch immer die Topologie definiert ist), also $f:X\to N$. Dann gilt bzw. wird definiert:

$f$ ist stetig $\iff$ für jede abgeschlossene Menge $S\subseteq N$ ist das Urbild $f^{-1}(S)$ abgeschlossen.


2.) Im Analysis 2 Kontext betrachten wir zwei (normierte) Räume $X$ und $N$ und eine Funktion $f$ mit $f:M\to N$, wobei $M\subseteq X$. Dann gilt, wie oben bereits erwähnt:

$f$ ist stetig $\iff$ für jede in $N$ abgeschlossene Menge $S$ existiert eine in $X$ abgeschlossene Menge $Q$ mit $f^{-1}(S)=Q\cap M$."

Aber irgendwie sehe ich es nicht...

viele Grüße
WagW



shipwater
Aktiv
Dabei seit: 27.03.2010
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Herkunft: Karlsruhe
Beitrag No.18, eingetragen 2020-12-02 13:34

\(f:M \to N\) ist stetig genau dann wenn das Urbild jeder in \(N\) abgeschlossenen Menge abgeschlossen in \(M\) ist. Ist nun \(M \subset X\) und \(M\) mit der Teilraumtopologie ausgestattet, dann gilt eben gerade: \(A\) ist abgeschlossen in \(M\) genau dann wenn eine in \(X\) abgeschlossene Menge \(Q\) mit \(A=Q \cap M\) existiert. 2) ist also nur ein Spezialfall von 1) in welchem \(M\) mit einer gewissen Topologie ausgestattet wurde.


Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
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Beitrag No.19, eingetragen 2020-12-02 13:34
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Dass der Satz falsch sei, ist Schwachsinn. Das ist genau die Definition der Relativtopologie: Die abgeschlossenen Mengen in $M$ haben genau die Form $A \cap M$ für eine abgeschlossene Menge $A \subseteq X$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]
\(\endgroup\)



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Druckdatum: 2021-03-01 14:50