Forum:  Bilinearformen&Skalarprodukte
Thema: Anwendung des Satzes von Sylvester
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mathebauer97
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Themenstart: 2020-12-02 15:09

Liebes Forum,

ich befinde mich in der Prüfungsvorbereitung und möchte folgendes Übungsbeispiel lösen:

Bestimmen Sie die Signatur der durch ihre Werte auf der Standardbasis \((e_{1},e_{2},e_{3})\) von \(\mathbb{R}^{3}\) bestimmten symmetrischen Bilinearform \(\sigma\):


\(\sigma(e_{i},e_{j}):= 1\), falls \(i+j=4\) und \(0\) sonst.

Ich möchte hier den Satz von Sylvester so effizient wie möglich anwenden.
Dazu muss ich zuerst einmal eine Basis bestimmen, die \(\sigma\) diagonalisiert.
Die Gramsche Matrix von \(\sigma\) bezüglich der Standardbasis hat folgende Gestalt:

\(\Gamma_{E}(\sigma)=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\)

Meine Frage ist: Wie bestimme ich denn diese Basis ? Ich habe Lösungen zu ähnlichen Aufgaben gefunden, in denen die Gramsche Matrix einfach mithilfe von Zeilen- und Spaltenumformungen in Diagonalform gebracht wurde. Kann ich das denn einfach machen, bzw. mit welcher Begründung ?
Bin für jeden Hinweis dankbar.

Lg,
mathebauer



mathebauer97
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Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-08 12:08

Habe das Problem lösen können,

letztlich nicht mit dem Satz von Sylvester sondern der Hauptachsentransformation und Bestimmung von Eigenwerten. War deutlich simpler :-)




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Druckdatum: 2021-02-25 12:00