Forum:  Matrizenrechnung
Thema: Dyadisches Produkt Kürzung
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mathsmaths
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Dabei seit: 17.06.2020
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Themenstart: 2020-12-05 09:34

Hallo,

Darf man bei Vektoren des $\mathbb{R}^n$ folgende Kürzung vornehmen ? ($v^Tv$ ist ja eine reelle Zahl)

$\frac{(y-v)v^Tv(y-v)^T}{(v^Tv)^2} = \frac{(y-v)(y-v)^T}{(v^Tv)}$

Bin mir unsicher, da ja der Ausdruck $v^Tv$ quasi mittendrin steht und man bei Skalarprodukten bzw. dyadischen Produkten bei solchen Kürzungen aufpassen muss.

Grüße


AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3459
Herkunft: hier und dort (s. Beruf)
Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-05 10:18

Huhu mathsmaths,

die Multiplikation von Matrizen ist assoziativ und die Multiplikation in einem Körper (hier $\mathbb{R}$) kommutativ. Es spricht also nichts gegen das Kürzen.

lg, AK.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6088
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-05 10:20
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

da im Zähler ausschließlich Matrizen-Multiplikationen vorkommen, sollte das mit der Eigenschaft der Assoziativität möglich sein, etwa indem man zunächst

\[\frac{(y-v)\left(v^Tv\right)}{\left(v^Tv\right)^2}\]
betrachtet.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

mathsmaths
Aktiv
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 97
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05 11:18

Hallo,

Danke euch, das macht Sinn.

Ein ähnliches Argument liefert dann vermutlich auch die Gleichheit ($H$ ist symmetrisch) :

$ss^THss^T = s^THsss^T$

Liege ich da richtig ?

Gruß!


AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3459
Herkunft: hier und dort (s. Beruf)
Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-05 11:31

Huhu,

$s^THs$ ist ein Skalar. Wenn der zugrunde liegende Ring (hier vermutlich der Körper $\mathbb{R}$) kommutativ ist, stimmt das so.

lg, AK.


mathsmaths
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Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 97
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05 12:32

Hallo,

Genau danke dir ! Frage mich, wie ich das übersehen konnte 😖

Gruß




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Druckdatum: 2021-02-27 13:45