Forum:  Polynome
Thema: 9. Kreisteilungspolynom
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Bruce94
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Themenstart: 2021-01-13 17:42

Hallo,

ich bearbeite gerade eine Altklausur und wollte fragen, ob meine Lösungen stimmen:

Aufgabe:
Das 9-te Kreisteilungspolynom ist gegeben durch \(\Phi_9=X^6+X^3+1 \in \mathbb{Q}[X]\) (dies müssen Sie nicht beweisen). Sei \(\zeta \in \mathbb{C}\) eine Einheitswurzel der Ordnung 9; es gilt also \(\Phi_9(\zeta)=0\).
1.) Welchen Grad hat \(\Phi_{18}\)?
2.) Welche Ordnung hat \(-\zeta \in \mathbb{C}^x\)?
3.) Bestimmen \(\Phi_{18}\).

Meine Lösung:

1.) Ich habe einfach die zu 18 teilerfremden natürlichen Zahlen kleiner als 18 gezählt. Der Grad ist 6.

2.) Ich würde sagen, auch Grad 9 (da wir uns im 9ten Kreisteilungspolynom befinden und \(\zeta\) die Ordnung 9 hat)?

3.) Wir haben in der Vorlesung bisher leider nur die Formel \(X^n-1=\underset{d \in \mathbb{N}: \ d:n}{\prod} \Phi_d\) behandelt. Da \(\Phi_9\) explizit angegeben ist und \(\Phi_{pn}(X)=\Phi_n(X^p)\) für eine Primzahl \(p\) gilt (Formel im Internet entdeckt), würde ich sagen, dass ich \(\Phi_{18}=X^{12}+X^6+1\) gilt. Gibt es noch eine andere Möglichkeit, \(\Phi_{18}\) zu berechnen?


Vielen Dank schon mal für eure Antworten.


qwertzusername
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-13 19:14

Hallo,

1) ist korrekt. Zum Berechnen hilft die eulersche $\varphi$-Funktion.
2) Nein. Was ist $(-1)^9 \cdot \zeta^9 $?
3) Hier widersprichst du dir selbst. Nach deiner 1) ist der Grad 6.
 Die Aufgabe will wohl, dass du einen Trick mit der 2) benutzt.

Und die Formel aus dem Internet hat eine Zusatzbedingung. Aus der Hüfte geschossen würde ich sagen $p \mid n$.


Bruce94
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-13 20:04

Hallo,

danke für deine Antwort.

1.) Die Eulersche Phi-Funktion ist durch $\Phi(m)=\vert (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^X\vert$ definiert. Ich weiß außerdem, dass $\Phi(p)=p-1$ für eine Primzahl $p$ gilt und, dass \( n = \underset{\underset{d \in \mathbb{N}}{d \vert n}}{\sum} \Phi(d) \) für ein $n \mathbb{N}$ gilt. Sehe gerade nicht, wie ich dadurch $\Phi(18)$ schneller berechnen kann.

2.) Es gilt: $(-\zeta)^9=(-1)^9 \cdot \zeta^9 =-1 \cdot 1 =-1$
Da $\zeta$ Grad 9 hat, hat $(-\zeta)$ den Grad 18, da Potenzen zwischen 10 und 17 das $\zeta$ nicht „verschwinden“ lassen würden.

3.) Es gilt: $\Phi_{18}(-\zeta)=0$
Ich hab so das Gefühl, dass $\Phi_{18}=X^6-X^3+1$ hinauslaufen wird? Das erfüllt auf jeden Fall mal $\Phi_{18}(-\zeta)=0$, hat Grad 6 und steht in Zusammenhang mit $\Phi_9$. Leider weiß ich aber nicht, wieso es nicht anders aussehen können sollte.


qwertzusername
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-13 21:00

1) Es gibt die schönen Rechenregeln $\varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1)$ für p prim
und $\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m)$ für teilerfremde m und n.
Damit lässt sich die phi-Funktion sehr gut berechnen.

2) Was ist mit Potenzen kleiner 10?
Generell gilt für die (multiplikative) Ordnung von a: Gibt es ein t mit $a ^t=1$, so ist ord(a) ein teiler von t.

3) Polynom ist richtig. Mit 1) und 2) lässt sich das beweisen.


Bruce94
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-13 21:59

2.) Da $(-\zeta)^{18}=1$ und aus $a^t=1$ folgt, dass $ord(a) \vert t$, kommen nur $1,2,3,6,9, 18$ in Frage.
$(-\zeta)^{1}=-\zeta\neq 1$
$(-\zeta)^{2}=\zeta^2 \neq 1$
$(-\zeta)^{3}=- \zeta^3 \neq 1$
$(-\zeta)^{6}= \zeta^6 \neq 1$
$(-\zeta)^9=-1  \neq 1$
$(-\zeta)^{18}=1$

3.) Habe noch mal lange drüber nachgedacht. Sehe leider nicht, wie das mit 1.) und 2.) folgt. Ich weiß, dass $\pm \zeta^k$ mit $0 \leq k \leq 8$ Einheitswurzeln sind, da die Menge der Einheitswurzeln eine Gruppe ist. Somit sind alle Einheitswurzeln des 9ten Kreisteilungspolynoms auch Einheitswurzeln des 18ten.

Mit 1.) kann ich sagen, dass $\Phi_{18}=X^6+a_5X^5+a_4X^4+a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0$ gilt.

Mit 2.) kann ich folgern, dass $\Phi_{18}(-\zeta)=0$ gilt.


qwertzusername
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Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-14 19:05

2) Es ist sinnvoll hier jeweils n-te Einheitswurzeln als eigene Gruppe zu betrachten
Und ja, 9-te Einheitswurzeln sind 18-te Einheitswurzeln.
Aber die Nullstellen des n-ten Kreistulungspolynom sind nur die primitiven n-ten Einheitswurzeln, nicht alle.



Bruce94
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-15 14:45

Ich weiß also, dass $E_9=<\zeta>$ und $E_{18}=<-\zeta>$ gilt. Dass die n-ten Einheitswurzeln eine Gruppe bilden, habe ich genutzt, um auf $E_{18}=\{(-\zeta)^k \ : \ 1 \leq k \leq 18\}$ zu kommen. Ebenso kann ich $E_{9}=\{\zeta^k \ : \ 1 \leq k \leq 9 \}$ folgern. Leider sehe ich nicht, wie mir das weiterhelfen könnte.

Ich kann auch bspw. sagen, dass $\zeta^{k} \in \{\zeta, \zeta^3, \zeta^5, \zeta^7\}$ mit $k \in \{10,11,...,17\}$, damit $E_{18}=\{(-\zeta)^k \ :  \ 1 \leq k \leq 18 \}$ gelten kann.


Edit:
Auf unserem neuen Übungsblatt müssen wir zeigen, dass $\Phi_{2n}(X)=\Phi_n(-X)$ für $1 \leq n$ und ungerade gilt. Damit wäre die Aufgabe natürlich schnell gelöst.


qwertzusername
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Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-15 20:28

Der Punkt im Edit ist genau das worauf ich raus will.




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Druckdatum: 2021-04-14 04:45