Forum:  Funktionalanalysis
Thema: Zerlegung für einen unbeschränkten linearen Operator
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Caleb
Aktiv
Dabei seit: 08.04.2014
Mitteilungen: 347
Themenstart: 2021-01-15 12:07

Guten Tag!

Ich habe den unbeschränkten Operator $L\colon H^2(\mathbb{R})\subset L^2(\mathbb{R})\to L^2(\mathbb{R})$, definiert durch $y\mapsto\partial_{zz}y+a\partial_z y+f'(x)y$.

Ich wüsste gerne, ob folgende Behauptung gilt (eine Quelle habe ich nicht gefunden):

Es existiert ein abgeschlossener Unterraum $X\simeq R(L)$, sodass $L^2(\mathbb{R})=X\oplus N(L)$.


(Dies erinnert mich an die Zerlegung in Kern und Bild im endlich-dimensionalen Fall.)


Viele Grüße!


piquer
Senior
Dabei seit: 01.06.2013
Mitteilungen: 490
Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16 18:43

Hi Caleb,

welche Vor. stellst du an $a$ und $f'$? Denn für $a = 0$ und $f' = 0$ gilt die Aussage nicht, da der Laplace-Operator kein abgeschlossenes Bild hat,

mathoverflow.net/questions/341383/non-closed-range-space-of-laplace-operators

Torsten


Caleb
Aktiv
Dabei seit: 08.04.2014
Mitteilungen: 347
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19 13:56

Hallo,

ich habe $a>0$ und $f'\neq 0$. Zudem ist $f'$ beschränkt.

Grüße





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Druckdatum: 2021-04-23 04:15