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Thema: Welche Primzahlen teilen die Ordnung einer endlichen Gruppe?
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Bruce94
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Themenstart: 2021-01-15 17:00

Hallo,

es geht um folgende Aufgabe:

Formulieren Sie den Satz von Cauchy für endliche Gruppen. Sei nun $G$ eine endliche Gruppe mit folgenden beiden Eigenschaften: $12$ teilt $\vert G \vert$ und es gilt $g^{12}=1$ für alle $g \in G$. Bestimmen Sie alle Primzahlen $p \in \mathbb{N}$, die $\vert G \vert$ teilen.


Der Satz von Cauchy für endliche Gruppen:
Sei $G$ eine endliche Gruppe. Ist $p$ ein Teiler von $\vert G \vert$, so existiert ein $g \in G$ der Ordnung $p$.

Da $12$ teilt $\vert G \vert$, folgt mit Cauchy, dass es ein $g \in G$ gibt mit $o(g)=12$.

Aus $g^{12}=1$ für alle $g \in G$ folgt, dass die Ordnung eines Elements aus $G$ die $12$ teilt. D. h. $o(g) \in \{1,2,3,4,6,12\}$ für alle $g \in G$.

Über die Ordnung von $G$ weiß ich erst mal nur, dass sie ein Vielfaches von $12$ ist. Somit sind $2$ und $3$ auf jeden Fall schon mal gesuchte Primzahlen. Aber wie finde ich weitere?


Liebe Grüße


Buri
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-15 17:11

2021-01-15 17:00 - Bruce94 im Themenstart schreibt:
Da $12$ teilt $\vert G \vert$, folgt mit Cauchy, dass es ein $g \in G$ gibt mit $o(g)=12$.
Hi Bruce94,
das ist nicht richtig. Beim Satz von Cauchy wird gefordert, dass p Primzahl ist.
Gruß Buri


Bruce94
Aktiv
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-15 17:31

Hallo Buri,

tatsächlich habe ich mich auch schon gewundert, dass im Skrip nicht vorausgesetzt wird, dass $p$ eine Primzahl ist. Dann fehlt das wohl dort.

Zumindest kann ich folgern, dass es ein Element $g \in G$ gibt mit Ordnung $2$ und ein $h \in G$ mit Ordnung $3$. Bisher haben wir die Elemente $id,g,h,h^2$. Da $\vert G \vert = 12 \cdot n$ muss es ja noch mindestens 8 weitere geben.


Bruce94
Aktiv
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19 21:53

Hallo,

habe mir etwas überlegt, weiß aber nicht, ob es korrekt ist.

Wir wissen, dass $\vert G \vert = 12 \cdot n_1$ für ein $n_1 \in \mathbb{N}$. D. h. die Primzahlen $2$ und $3$ teilen die Ordnung von $G$.

Sei nun $p>3$ eine Primzahl mit $12 \cdot n_1 = p \cdot n_2$ für ein $n_2 \in \mathbb{N}$. Wir können beide Seiten der Gleichung durch $2$ und auch durch $3$ teilen und sehen dadurch, dass $n_2=6 \cdot m$ mit $m \in \mathbb{N}$.

Wir erhalten $2n_1=pm$ und somit $p = \frac{2n_1}{m}$. Da $p$ eine Primzahl ist, teilt $m$ also entweder $2$ oder $n_1$.

1. Fall: $m \ \vert \ 2$
Somit ist $m \in \{1,2\}$. Für $m=1$ könnte $p$ kein Primzahl sein und für $m=2$ folgt $p=n_1$. Im letzteren Fall hätten wir also als Lösung der Aufgabe die Menge $\{2,3,n_1\}$.

2. Fall $m \ \vert \ n_1$
$p$ wäre eine gerade Zahl, was ein Widerspruch ist.

Somit erhalte ich $L=\{2,3,n_1\}$ als Lösungmenge.


Allerdings hätte ich für diese Lösung nicht verwendet, dass $g^{12}=1$ für alle $g \in G$ gilt. Und den Satz von Cauchy für endlich Gruppen habe ich ja auch nicht angewendet. Daher wird meine Lösung wohl nicht stimmen, aber auf was anderes komme ich nicht (abgesehen von meinem letzten Post).


hippias
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Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-20 08:47

Versuche vielleicht dies: sei $p$ eine Primzahl, die $|G|$ teilt und versuche die Annahme $p>3$ zu einem Widerspruch zu führen.



Bruce94
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20 12:04

Hallo,
danke für deine Antwort.

Wenn ich mal speziell annehme, dass $p=5$ die Ordnung teilt, so könnte $ \vert G \vert =12 \cdot 5 =60$ gelten. Durch die zuvor erhaltenen Elemente $g$ und $h$ fehlen mir noch $56$ Elemente. Dies könnten $56$ Elemente der Ordnung $2$ sein.
Jedoch würde das ja dem widersprechen, dass es keine Primzahl echt größer als $3$ gebgen kann, die die Ordnung von $G$ teilt.

Scheinbar habe ich ein grundlegendes Verstädnisproblem davon, was die Ordnung von Elementen einer Gruppe betrifft?


hippias
Aktiv
Dabei seit: 06.01.2017
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Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-20 12:53

Ich sehe nicht, wie Du auf die Zahl $56$ kommst; halte aber so ein Argument auch nicht für sinnvoll.
Also: was sagt Cauchy, wenn $5$ die Gruppenordnung teilt? Ist das verträglich mit $g^{12}=1$?


Nuramon
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Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-20 12:53
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

sei $G$ eine beliebige Gruppe. Falls dann für ein Element $g\in G$ gilt, dass $g^{12}=1$ und $g^5=1$, was kann man dann über $g$ aussagen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
\(\endgroup\)

Bruce94
Aktiv
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20 14:42

Danke für eure Antworten. Ich glaube, ich hab's:

Teilt $p$ Primzahl die die Ordnung von $G$ teilt, so gibt es nach Cauchy ein $h \in G$ mit $ord(h)=p$. Wegen $g^{12}=1$ für alle $g \in G$ wissen wir, dass $ord(h) \in M=\{1,2,3,4,6, 12 \}$ gelten muss. Die einzigen Primzahlen sind also $2$ und $3$.




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Druckdatum: 2021-06-22 02:56