Forum:  Grenzwerte
Thema: Grenzwert und uneigentliches Integral
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WagW
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Themenstart: 2021-01-15 22:10

Hallo zusammen,

wir haben als Kriterium für den Grenzwert einer Funktion:

"$\lim\limits_{x\to a} f(x)$ existiert genau dann, wenn für jede Folge $(a_n)$ mit $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a$ der Grenzwert $\lim\limits_{n\to \infty}f(a_n)$ existiert."

Sei nun $\int\limits_a^{b}f(t)dt$ mit $a<b$ und $b\in\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ ein uneigentliches Integral.

Das  uneigentliche Integral existiert genau dann, wenn $f(t)$ auf $[a,\beta]$ für jedes $\beta$ mit $a<\beta<b$ Riemann-integrierbar ist und der Grenzwert $\lim\limits_{\beta\to b} \int\limits_a^{\beta}f(t)dt$ existiert. Hierbei kann $\lim\limits_{\beta\to b} \int\limits_a^{\beta}f(t)dt$ genauso als Grenzwert einer Funktion interpretiert werden, sei also $F(\beta):=\int\limits_a^{\beta}f(t)$. Daher muss man ja die Existenz von $\lim\limits_{\beta\to b}F(\beta)$ durch obiges Folgenkriterium zeigen können. In unserem Skript haben wir jedoch die Aussage, dasses ausreicht wenn wir die Existenz von $\lim\limits_{n\to \infty} F(\beta_n)=\lim\limits_{n\to \infty} \int\limits_a^{\beta_n}f(t)dt$ bloß für eine Folge zeigen.

Ich frage mich nun warum es in diesem Kontext ausreicht sich bloß eine einzige Folge "anschauen" zu müssen?



Ich hatte überlegt das über das Cauchy-Kriterium zu beweisen, bin dann aber irgendwie mit den Indexsetzungen durcheinander gekommen. Folgendermaßen:


Sei $(\beta_n)$ ein Folge mit $\lim\limits_{n\to\infty}\beta_n=b$, sodass $\lim\limits_{n\to \infty} F(\beta_n)=c<\infty$. Weiter sei $(a_n)$ eine Folge mit $\lim\limits_{n\to\infty}a=b$, sodass $\lim\limits_{n\to \infty} F(a_n)$ nicht existiert. Jetzt wollte ich einen Widerspruch erzeugen, indem ich mit zwei $a_k$ und $a_l$ ein Intervall konstruiere, welches in einem Intervall mit Endpunkten $\beta_m$ und $\beta_n$ liegt. Da für die Folge $(\beta_n)$ ja alles glatt geht, aber für die Folge $(a_n)$ nicht, müsste man so ja einen Widerspruch hinbekommen, nach dem Motto $\left|\int\limits_{\beta_n}^{\beta_n}f(t)dt\right|=\left|\int\limits_{\beta_m}^{a_m}f(t)dt+\int\limits_{a_m}^{a_n}f(t)dt+\int\limits_{a_n}^{\beta_n}f(t)dt\right|\geq \epsilon$ . Aber ich kriegs mit der korrekten Auswahl der Indices nicht hin.

Für $(\beta_n)$ gibt es einen Index $n_0$, sodass für alle $n>m>n_0$ gilt $|F(\beta_n)-F(\beta_m)|=|\int\limits_{\beta_m}^{\beta_n}f(t)dt|<\frac{\epsilon}{4}$. Weiter gibt es zwei $k,l$ mit $l>k>n_0$ und $|F(a_l)-F(a_k)|=|\int\limits_{a_k}^{a_l}f(t)dt|\geq\epsilon$. Wie kann ich jetzt sicherstellen, dass $a_k$ und $a_l$ auch zwischen $\beta_m$ und $\beta_n$ liegen? Oder muss/sollte man hier anders vorgehen?

viele Grüße
WagW


StefanVogel
Senior
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16 07:05

2021-01-15 22:10 - WagW im Themenstart schreibt:
Ich frage mich nun warum es in diesem Kontext ausreicht sich bloß eine einzige Folge "anschauen" zu müssen?
Hallo WagW,
bei einer Behauptung

"Für jede Folge \((a_n)\) mit \(\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a\) gilt dies und das..."

kann der Beweis mit

"Sei \((a_n)\) eine Folge mit \(\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a\) ..."

beginnen. Da kommt das Wort "eine" vor, ist aber so gemeint, dass sich der Leser eine beliebige solche Folge vorstellen soll.

Was auch sein kann, f(x) ist beispielsweise als eine nichtnegative Funktion gegeben. Da braucht man wegen Monotonie den Grenzwert wirklich nur für eine einzige Folge berechnen.


Ich hatte überlegt das über das Cauchy-Kriterium zu beweisen, bin dann aber irgendwie mit den Indexsetzungen durcheinander gekommen. Folgendermaßen:


Sei $(\beta_n)$ ein Folge mit $\lim\limits_{n\to\infty}\beta_n=b$, sodass $\lim\limits_{n\to \infty} F(\beta_n)=c<\infty$. Weiter sei $(a_n)$ eine Folge mit $\lim\limits_{n\to\infty}a=b$, sodass $\lim\limits_{n\to \infty} F(a_n)$ nicht existiert.

Wenn es eine solche Folge \((a_n)\) mit keinem oder einem anderen Grenzwert als \(c\) gibt, dann kann man an der Stelle schon sagen, dass das Integral nicht existiert, auch nicht als unbestimmtes Integral. Das folgt aus der Definition, und die kann und braucht man nicht beweisen. Ein Beweis ist erst nötig, wenn man eine konkrete Funktion \(f(x)\) gegeben hat und dafür die Existenz des unbestimmte Integral zeigen will.

Das Cauchy-Kriterium verwendet nur eine Folge. Sie konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert, wenn ab einem genügend großen Index je zwei Folgenglieder einen kleineren Abstand als eine anfangs beliebig vorgegene Schranke haben.

Viele Grüße,
  Stefan



WagW
Aktiv
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16 19:33

Hallo Stefan,

da steht wortwörtlich, "... wenn es mindestens eine Folge gibt mit ...".
Es wird also nicht eine beliebige Folge vorausgesetzt bzw. genommen.

Wie sich aber herausgestellt hat, ist das ein Fehler im Skript und dieser hat mich jetzt einige Std an Arbeit gekostet und unnötig verwirrt 😒

viele Grüße
WagW




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Druckdatum: 2021-04-10 16:32