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Thema: Rotationssymmetrie der Faltung
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Monopoly
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Dabei seit: 15.01.2021
Mitteilungen: 4
Themenstart: 2021-01-15 23:41

Hallo,

ich möchte folgendes zeigen:

Seien f,g stetige Funktion, die rotationssymmetrisch sind, also:
 \[\| x\| = \| y\| \rightarrow f(x) = f(y),\quad und \quad g(x) = g(y). \]
Dann ist auch F(x) rotationssymmetrisch mit: \[F(x):= \int \limits_{ \quad B} f(y)g(y-x)dy \] B ist eine Kugel mit Radius R um 0.

Ich komme, aber nicht weiter und wäre über Hilfe dankbar.




zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1990
Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16 00:20

2021-01-15 23:41 - Monopoly im Themenstart schreibt:
$\| x\| = \| y\| \rightarrow f(x) = f(y),\quad und \quad g(x) = g(y).$

Das kannst du auch schreiben als $f(Ax)=f(x)$ und $g(Ax)=g(x)$ für jede orthogonale Matrix $A$.

2021-01-15 23:41 - Monopoly im Themenstart schreibt:
B ist eine Kugel mit Radius R um 0.

Damit gilt auch $A^{-1}(B)=B$ für jede orthogonale Matrix $A$.

Beides zusammen liefert$$ F(Ax) = \intop_B f(y)\,g(y-Ax)\,\mathrm dy =
\intop_{\mkern-20mu A^{-1}(B)\mkern-20mu } f(Az)\,g(Az-Ax)\,\mathrm dz =
\intop_B f(z)\,g(z-x)\,\mathrm dz = F(x) \;,
$$wobei beim zweiten Gleichheitszeichen $z=A^{-1}y$ substituiert wurde.

--zippy


Monopoly
Neu
Dabei seit: 15.01.2021
Mitteilungen: 4
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16 01:07

Ah. Auf die Idee mit den Orthogonalen Matrizen wäre ich nicht gekommen. Ich danke dir.




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Druckdatum: 2021-04-10 16:44