Forum:  Mehrdim. Differentialrechnung
Thema: Bedingung für Maximum/Minimum einer Funktion
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WagW
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Themenstart: 2021-01-17 22:03

Hallo zusammen,

ich bin auf folgende Aufgabe gestoßen:

Sei $n\ge3$, $M=\{x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in R^{n}: x_{1}=2021, x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n}^{2}=1\}$ und $p=(2021,1,0,...,0)\in M$. Außerdem sei $f: \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ aus $C^{2}$ mit folgenden beiden Eigenschaften:
$$a) Df(p)=(1,1,0,...,0)$$ $$b) D^{2}f(p)=
\left| \begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12}  \\
A_{21} & A_{22}
\end{array} \right|. $$ Hierbei ist $A_{11}$ eine $2\times2$ Matrix, det$A_{11}=7$, $A_{12}=A_{21}^{T}$, und $A_{22}$ ist eine $(n-2)\times(n-2)$ Matrix.

Man soll jetzt zeigen, dass:
$$\exists y\in\mathbb{R}^{n-2}\diagdown \{0\} \quad y^{T}A_{22}y<||y||^{2}\Rightarrow f \; \text{hat ein lokales Maximum im Punkt p in}\: M, $$ $$\exists y\in\mathbb{R}^{n-2}\diagdown \{0\} \quad y^{T}A_{22}y>||y||^{2}\Rightarrow f \; \text{hat ein lokales Minimum im Punkt p in}\: M.$$

Ich habe das mal für $n=3$ angefangen, weiß aber nicht wie ich weiter vorgehen soll. Mein Plan war die Funktion erst mal mit dem Taylor Polynom abzuschätzen und dann zu schauen was um den Punkt $p$ für $x\in M$ passieren kann. Wenn ich also $f(x)$ mit dem Taylor-Polynom zweiter Ordnung im Punkt $p$ abschätze, erhalte ich für $x=\left(\begin{array}{cc}
   2021 \\
   v_2 \\
   v_3
  \end{array}\right)$:
$$ f(x)-f(p)=Df(p)\left(\begin{array}{cc}
   2021 -2021 \\
   v_2-1 \\
   v_3
  \end{array}\right) +\frac{1}{2}D_{11}f(p)(2021-2021)^2+\frac{1}{2}D_{12}f(p)(2021-2021)(v_2-1)+\frac{1}{2}D_{13}f(p)(2021-2021)v_3+\\
\frac{1}{2}D_{21}f(p)(2021-2021)(v_2-1)+\frac{1}{2}D_{22}f(p)(v_2-1)^2+\frac{1}{2}D_{23}f(p)(v_2-1)v_3+\frac{1}{2}D_{31}f(p)(2021-2021)v_3+\frac{1}{2}D_{32}f(p)(v_2-1)v_3+\frac{1}{2}D_{33}f(p)v_3^2+\omicron(\Vert x-p\Vert^2)\\
=\frac{1}{2}D_{22}f(p)(v_2-1)^2+D_{23}f(p)(v_2-1)v_3+\frac{1}{2}A_{22}v_3^2+\omicron(\Vert x-p\Vert^2).$$
Hierbei kann man noch sehen, dass $D_{22}f(p)>0$ sein muss, da ansonsten $A_{11}$ nicht positiv definit wäre. $A_{22}$ ist dann ja hier einfach ein Skalar $>1$ oder $<1$. Ich sehe aber nicht wie mir das weiterhilft, um zu zeigen, dass dann für die Differenz $f(x)-f(p)\geq 0$ bzw. $f(x)-f(p)\leq 0$ für $x$ Werte, die nah genug an $p$ sind, gilt. Das Ganze hängt in diesem Fall zumindest an $D_{23}f(p)$ und ich sehe nicht wie man sich da noch irgendwelche weiteren Eigenschaften herleiten kann, die einem weiterhelfen. Vielleicht kann man da doch noch irgendwie die Symmetrie der Hesse Matrix und positive Definitheit ins Spiel bringen, aber wie?

viele Grüße
WagW




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Druckdatum: 2021-04-23 05:05