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Thema: limes superior und Konvergenz
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Gast123
Aktiv
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 97
Themenstart: 2021-01-19 17:29

Hallo,

ich bin über folgendes gestolpert in einem Beweis:


Wegen
$$\limsup ||f_n - f|| \leq 0$$ (Kommentar: Das wurde in dem Beweis davor gezeigt, dass das in diesem speziellen Fall gilt)
folgt, dass
$$\lim ||f_n - f|| = 0$$ (denn $||f_n - f|| \geq 0$, für alle n)


Mir ist hier nicht klar warum man schlussfolgern kann, dass das ganze konvergiert. Ich würde sagen, dass man nur schlussfolgern kann, dass
$$\limsup ||f_n - f|| = 0$$ oder? Denn für Konvergenz würde man ja benötigen, dass der Ausdruck auch mit dem limes inferior übereinstimmt.


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6758
Herkunft: Niedersachsen
Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-19 17:53

Wenn man weiß, dass der Limes superior _gleich_ 0 ist, dann kann man daraus tatsächlich auf Konvergenz schließen, da der Limes inferior (aufgrund der Normeigenschaft) immer $\geq 0$ ist.
Nur zu wissen, dass der Limes superior _größergleich_ 0 ist, reicht dagegen nicht aus. Das ist immer der Fall.


Gast123
Aktiv
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 97
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19 18:03

Hallo Kitaktus,

vielen Dank für deine Antwort. Mir ist aufgefallen, dass in meinem ersten Post das kleiner gleich ein größer gleich war. Ich habe das jetzt verbessert, sorry.

Aber jetzt mit der verbesserten Version kann man ja schließen, dass der limes superior gleich 0 ist oder?

Und der limes inferior ist hier aber nur größer gleich 0, da wir hier Ausdrücke in der Norm betrachten, oder?


Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1871
Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-19 18:56

Und wie ist die Beziehung zwischen Limes inferior und Limes superior?


Gast123
Aktiv
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 97
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19 19:04

naja limes inferior ist immer kleiner gleich limes superior. Daher folgt dann ja mit der Argumentation von Kitaktus, dass sie in diesem Fall gleich sind und dadurch folgt dann die Konvergenz


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6758
Herkunft: Niedersachsen
Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-20 13:58

Ja, so ist es.


Gast123
Aktiv
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 97
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20 15:22

alles klar vielen dank!




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Druckdatum: 2021-04-19 13:30