Forum:  Statik des starren Körpers
Thema: Trägheitsmoment vom Kegel mit Zylinderkoordinaten
Themen-Übersicht
Akin
Junior
Dabei seit: 02.12.2020
Mitteilungen: 13
Themenstart: 2021-01-19 22:02

Hallo,

ich soll das Trägheitsmoment eines Kegels berechnen, und ich mache das über Zylinderkoordinaten.

Ist meine Idee richtig?



Vom letzten Integral folgt: I = 1/2*pi*p*(H*R^4/5) bzw. I = 0.1*pi*p*H*R^4

Ist meine Idee überhaupt richtig? 3-Fach Integrale ist neu für mich, und die Grenze mit R(h) ist ziemlich wagemutig von mir.


Teido
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2015
Mitteilungen: 57
Herkunft: Deutschland
Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-20 18:57

Hallo Akin,

zunächst wäre es wichtig zu wissen, auf welche Achse sich das Trägheitsmoment bezieht. Anhand der Wahl deiner Parameter würde ich mal vermuten, es geht um die längsachse vom Boden bis zur Spitze.

Dein dV ist soweit richtig, die Formel für das R(h) auch.
Im zweiten Schritt solltest du i.A. noch berücksichtigen, dass \(\rho\) durchaus auch eine Funktion sein kann, also von deinen Koordinaten abhängt.

Ansonsten ist bei Mehrfachintegralen immer von innen nach Außen zu integrieren. Die Differentiale müssen dabei zu den Integralsymbolen passen, also nicht einfach die Grenzen für deinen Winkel bei r einsetzen.
Und nachdem das Integral ausgeführt wurde, muss das Differential weg. In deinem letzten Schritt steht also nur noch dh.
Dann nur noch die Funktion einsetzen, letztes Integral ausführen und fertig.




Zwaen
Neu
Dabei seit: 19.01.2021
Mitteilungen: 3
Herkunft: Berlin,Deutschland
Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-20 20:49

Hey Akin,

Ich stimme vollkommen mit Teido überein.
Doch um die Rechnung zu vereinfachen würde ich vorschlagen, dass du den Kegel nicht von unten nach oben, sondern von oben nach unten betrachtest.

Dadurch vereinfacht sich den R(h) zu:

\(

R(h) = \frac{R}{H} h  

\)

Wenn du dich dann an die Anweisungen von Teido hältst, bekommst du:

\(

\begin{equation*}
\begin{split}
    I_{K} &= \rho \int_0^H dh \int_0^{2\pi} d \varphi \int_0^{R(h)} r^3 \hspace{0.15cm} dr \\
    I_k &= \frac{\rho}{4} \int_0^H dh \int_0^{2\pi}  R^4(h) \hspace{0.15cm} d \varphi \\
    I_k &= \frac{\rho}{2} \pi \int_0^H R^4(h) \hspace{0.15cm} dh \\
    I_k &= \frac{\rho}{2} \pi \int_0^H \frac{R^4}{H^4} h^4 \hspace{0.15cm} dh = \frac{\rho}{10} \pi R^4 H
\end{split}
\end{equation*}

\)

Jetzt musst du diesen Ausdruck nur noch ein Wenig vereinfachen....




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=251838=80107
Druckdatum: 2021-04-23 04:29