Forum:  Geometrie
Thema: Beweisen Sie folgende Aussagen
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Erstimat
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Themenstart: 2021-01-20 10:17

Beweisen Sie: Wenn M ⊆ P eine Fixmenge bezüglich einer Bewegung ϕ: P → P ist, also M = ϕ(M ) gilt, dann ist M auch eine Fixmenge bezüglich ϕ−1.

Laut meinem Professor ist dieser Beweis nur ungefähr eine Zeile lang, leider finde ich im Skript nur den Begriff Fixgerade dazu darauf ist er aber auch nicht eingegangen.


Beweisen Sie: Wenn H eine Halbebene mit der Randgeraden h ist
und g eine zu h nicht-parallele Gerade ist, dann ist g ∩H eine Halbgerade.


Hinweis: Der Satz zu Halbgeraden soll auf g ∩H und g ∩H− angewandt werden.

(Halbgeraden). Zu jeder Geraden g in G und jeden Punkt A auf g gibt
es bis auf Reihenfolge genau ein Paar (p1, p2) von Teilmengen von g mit folgenden
Eigenschaften:
1) Die Menge {p1,{A}, p2} ist eine Zerlegung von g.
2) Die Mengen p1 und p2 sind konvex.
3) Aus P1 ∈ p1 und P2 ∈ p2 folgt A ∈ P1P2.

Das ist ja eigentlich der Satz der Halbgeraden dazu doch ich weiß nicht wie ich diesen anwenden kann/soll.


Könnte mir da jemand bitte helfen.





Diophant
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-20 10:31

Hallo und willkommen hier im Forum!

Für die erste Aufgabe benötigst du eigentlich nur einen Verweis auf eine wichtige Eigenschaft, die allen Bewegungen eigen ist. So als Abbildung aufgefasst: was kann man denn da über Bewegungen im allgemeinen sagen?

Für die zweite Aufgabe musst du für meine Bergriffe einfach nur ausführen, wie diese Zerlegung von g aussieht. Dabei kann man u.U. das eine oder andere Axiom bemühen.


Gruß, Diophant


Erstimat
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Dabei seit: 20.01.2021
Mitteilungen: 3
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20 10:58

Also eine Bewegung ist doch im Grunde zum Beispiel eine Drehung, Spiegelung oder Verschiebung. Andererseits kann eine Bewegung eine bijektive Abbildung einer Ebene sein. Und dann gab es ja noch die freie Beweglichkeit. Ich hoffe das ist so erstmal richtig gesagt.

Bei 2. weiß ich trotz deines Tipps immer noch nicht weiter. Obwohl er hatte glaube ich das in dem Zusammenhang mal erwähnt aber ich weiß nicht mehr in welchem Bezug. Es diente aber glaub ich dazu um den Satz der Halbgeraden zu beweisen.

Axiom Inz-2. Zu jeder Geraden aus G gibt es zwei verschiedene Punkte aus P, die mit dieser Geraden inzidieren. Das heißt ∀g ∈ G∃A ∈ P∃B ∈ P\{A}: A | g ∧B | g.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6550
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-20 16:52

Hallo,

zur 1): hier benötigst du einfach nur die Tatsache, dass Bewegungen bijektiv sind.

Und für die 2) musst du irgendwie begründen, dass sich g und h schneiden. Damit hast du die erforderliche Zerlegung.

Überlege dir doch jetzt selbst mal etwas und stelle es hier vor, dann sehen wir weiter.

Fertige Lösungen werden hier auf dem Matheplanet i.a. nicht gegeben.


Gruß, Diophant


Erstimat
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Mitteilungen: 3
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20 16:59

Danke erstmal für die Hilfe. Ich probiere aus und sende dann meine Lösungen nochmal hierrein.




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Druckdatum: 2021-04-18 01:21