Forum:  Geometrie
Thema: g Sekante <=> Strecke zum Lotfußpunkt kleiner als Radius
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bananachraumschiff
Junior
Dabei seit: 15.02.2020
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Themenstart: 2021-01-20 14:25

Hallo,

folgendes ist z.z.: K ist ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt M, F ist der Lotfußpunkt von M auf Gerade g. Dann gilt:
(i) Der Abstand von M zu F ist kleiner als r, gdw. g und K zwei Schnittpunkte haben.
(ii) Der Abstand von M zu F ist genauso groß wie r, wenn g und K einen Schnittpunkt haben.
(iii) Der Abstand von M zu F ist größer als r, gdw. g und K keine Schnittpunkte haben.

(ii) habe ich schon gezeigt, und wollte als nächstes (i) zeigen, damit ich bei (iii) nur noch eine Fallunterscheidung machen muss.

Jetzt hänge ich aber leider bei (i) fest und hab nicht so richtig eine Idee, wie ich das am besten zeigen. (Wir dürfen keine Vektorrechnung benutzen). Hat jemand Ideen?

Liebe Grüße.


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-20 15:18

Wenn MF<r ist, dann liegt F ja sicher ...
Wenn man sich entlang g von F entfernt, dann nimmt der Abstand zu M streng monoton zu (warum?) und steigt unbeschränkt. Aus Stetigkeitsgründen schneidet man daher auf beiden Seiten von F je einmal den Kreis, weil ...


bananachraumschiff
Junior
Dabei seit: 15.02.2020
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20 16:03

2021-01-20 15:18 - Kitaktus in Beitrag No. 1 schreibt:
Wenn MF<r ist, dann liegt F ja sicher ...
Wenn man sich entlang g von F entfernt, dann nimmt der Abstand zu M streng monoton zu (warum?) und steigt unbeschränkt. Aus Stetigkeitsgründen schneidet man daher auf beiden Seiten von F je einmal den Kreis, weil ...

Ich darf leider nur geometrische Beweismethoden benutzen, also Konstruktionen innerhalb der euklidischen Geometrie.


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-20 16:23

hm, schon ne skizze hilft oft

dann zeichne doch mal einen kreis und eine gerade die den kreis 2x schneidet, sowie das gewünschte lot von M aus

danach evtl einen 2. kreis um M der durch F geht??? oder eine beschreibung wo F liegt in bezug auf irgend etwas dir auffälligem?



Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
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Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-21 13:56

Ein konstruktiver Beweis wäre dann die Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks aus den Größen MF (MF<r) und r (=Hypothenuse)?!

Wie man konstruktiv(!) zeigen soll, dass eine Passante einen Kreis nicht schneidet, ist mir nicht klar.


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
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Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-21 16:36

kitaktus, wiso soll der (längen-)vergleich der strecke des lot´s zur passante mit einem in gleicher richtung liegenden radius nicht konstruktiv gelten? längen kann man doch prima mit nem zirkel abtragen und vergleichen


Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
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Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-21 19:41

2021-01-20 14:25 - bananachraumschiff im Themenstart schreibt:
folgendes ist z.z.: K ist ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt M, F ist der Lotfußpunkt von M auf Gerade g. Dann gilt:
(i) Der Abstand von M zu F ist kleiner als r, gdw. g und K zwei Schnittpunkte haben.
(ii) Der Abstand von M zu F ist genauso groß wie r, wenn g und K einen Schnittpunkt haben.
(iii) Der Abstand von M zu F ist größer als r, gdw. g und K keine Schnittpunkte haben.

Die Fälle sehen so aus:
<math>
\pgfmathsetmacro{\r}{2}
\pgfmathsetmacro{\a}{2.75}

\pgfmathsetmacro{\Xshift}{\a+0.125}

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\makeatletter
\long\def\ifcoorddefined#1#2#3{%
\@ifundefined{pgf@sh@ns@#1}{#3}{#2}%
}
\makeatother

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]

\newcommand{\kreisgerade}[1]{%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro{\v}{#1}
\coordinate[label=below:$M$] (M) at (0,0);
\coordinate[label=above:$$] (T) at (133:\r);

\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=\r];

\draw[] (M) -- ($(M)!\r cm + \v cm!(T)$) coordinate[label=above:$F$] (F);

\draw[] (F) -- ($($(M)!(F)!(F)$)!\a cm!90:(F)$) coordinate(A);
\draw[] (F) -- ($($(M)!(F)!(F)$)!-\a cm!90:(F)$) coordinate(B);
\path[name path=gerade] (A) -- (B);

\draw pic [draw, angle radius=2mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =M--F--B};


\path[name intersections={of=kreis and gerade, name=S, total=\tot}, savevalue={\t}{\tot}];
\ifnum\t=2
\foreach\p/\Pos in {1/left, 2/above}{
\coordinate[label=\Pos:$S_\p$] (S\p) at (S-\p);    }
\fi

\pgfmathsetmacro{\test}{\v < 0 ? 1 : 0}
\ifnum\test=1
\draw[densely dashed] (M) -- (S1);
\draw[densely dashed] (M) -- (S2);
\else
\coordinate[label=above:$P$] (P) at ($(B)!0.25!(F)$);
\draw[densely dashed] (M) -- (P);
\fi

%% Punkte
\foreach \P in {M, F, S1, S2, P}{
\ifcoorddefined{\P}{  \draw[fill=black!1] (\P) circle[radius=1.5pt];  }{}
}
}%%%%%%%%%

\kreisgerade{0.65}

\begin{scope}[xshift=\Xshift*\r cm]
\kreisgerade{-0.4}
\end{scope}

\begin{scope}[xshift=2*\Xshift*\r cm]
\kreisgerade{0}
\end{scope}

\end{tikzpicture}
</math>

Rein geometrisch würde ich, mit Hilfe eines Hilfspunktes $P$, jeweils damit argumentieren, dass die Hypotenuse die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist; und dazu bei Bedarf einen Widerspruchsbeweis formulieren.




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Druckdatum: 2021-04-19 13:48