Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Rückwärts-stochastische Riccati-Differenzialgleichung
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Mathefreund123
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Themenstart: 2021-01-21 18:54

Hallo Zusammen,

Ich habe folgendes Problem mitgebracht:

Sei $(P,\Lambda)$ eine adaptierte Lösung der folgenden Rückwärts-stochastische Riccati Differenzialgleichung:

$$ \begin{aligned}
dP_t &= \left[a - \frac{2}{\kappa_t} \left(P_t-\lambda a^2\right)^2\right]dt + \Lambda_tdW_t, \quad t \in [0,T], \\ P_T &= 0,
\end{aligned}$$
wobei $a>0, \lambda \in \mathbb R$ und $(\kappa_t)_{t \in [0,T]}$ ein strikt positiver, progressiv messbarer stochastischer Prozess ist. Außerdem nehmen wir an, dass


$$a-\frac{2\lambda^2 a^4}{\kappa_t} \geq 0, \quad \forall t\in [0,T]. $$
Ich vermute nun unter diesen Annahmen, dass $P \leq 0$ ist. Leider kann ich meine Vermutung nicht beweise. Kann jemand mir hier helfen oder hilfreiche Literatur empfehlen?

PS: Die Vermutung kommt daher, dass für konstantes $\kappa>0$ die obige Differenzialgleichung dann wie folgt aussieht:

$$ \begin{aligned}
dP_t &= \left[a - \frac{2}{\kappa} \left(P_t-\lambda a^2\right)^2\right]dt, \quad t \in [0,T], \\ P_T &= 0,
\end{aligned}$$
Diese kann man lösen und meine Behauptung stimmt hier.


AnnaKath
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-22 11:17

Huhu Mathefreund123,

in welchem Sinne versuchst Du diese SDE (bzw. das Anfangswertproblem) denn zu lösen?
Für nichtdeterministisches $\kappa_t$ ist $P$ doch kein Ito-Prozess (aka "nicht differenzierbar")...

Es gibt wohl eines (Hida-)distributionelle Lösung der Gleichung, ich kann aber nicht erkennen, dass diese regulär wäre und bin mir auch nicht sicher, dass sie negativ (semi-)definit wäre. Wenn Du das aber nachweisen willst, solltest Du es mit dem Satz von Bochner/Minlos versuchen.

lg, AK


Mathefreund123
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22 16:15

Hallo AnnaKath,

Erstmal danke für deine Antwort.

Zu deiner Frage:
2021-01-22 11:17 - AnnaKath in Beitrag No. 1 schreibt:
in welchem Sinne versuchst Du diese SDE (bzw. das Anfangswertproblem) denn zu lösen?
Für nichtdeterministisches $\kappa_t$ ist $P$ doch kein Ito-Prozess (aka "nicht differenzierbar")...

Ich beschäftige mich nicht mit der Lösbarkeit dieser Gleichung, sondern nehme an, dass diese lösbar ist durch ein Paar $(P,\Lambda)$. Ich will lediglich nur wissen unter der Annahme, dass diese Gleichung lösbar ist und $a-\frac{2 \lambda^2 a^4}{\kappa_t} \geq 0$, ob man etwas über den Wertebereich sagen kann, wie $P \leq 0$. Ich werde mir mal einen Tipp genauer anschauen.

Falls sonst jemand noch Anregungen hat, bitte Ich Ihn oder Sie es zu äußern.

LG

Mathefreund123


AnnaKath
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-22 17:50

Huhu Mathefreund,

dann hake ich doch noch einmal nach: Was ist denn $P$? Davon musst Du doch eine Vorstellung haben, wenn Du $P\leq 0$ formulierst.

Meine Anmerkung soll darauf hinweisen, dass es keine Lösung geben wird*, für die das ein im geläufigen Sinne gültiger Ausdruck ist. Eine Lösung $P$ der SDE wird kein (klassischer) stochastischer Prozess sein...

In gewisser Weile ähnelt Deine Frage der Folgenden: Ist $x$ die Lösung von $\int_{\mathbb{R}} x = \Theta$ (der Heavyside-Funktion), welchen Wert hat dann $x(-2)$?

lg, AK

*) Sieht man trivialen Grenzfällen wie $\Lambda_t = 0$ f.s. ab




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Druckdatum: 2021-04-16 18:48