Forum:  Lebesgue-Integral
Thema: Lebesgue-Integral über ganz ℝ
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Gast123
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Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 97
Themenstart: 2021-01-21 18:57

Hallo,

ich habe mich drei Dinge gefragt:
1.) Wie kann man denn Lebesgue Integrale (in 1D) über ganz $\mathbb{R}$ auswerten? Ich habe nur gelernt, dass man das Lebesgue Integral in ein Rieman-Integral überführen kann, wenn man über eine abgeschlossene Menge integriert. Aber wie sieht es denn aus, wenn die Menge, über die man integriert, unbeschränkt ist (z.B. ganz $\mathbb{R}$)?

2.) Sind konstante Funktionen denn in den ${\cal L}^p$ Räumen?
Ganz konkret: Ist die Eins-Funktion zB in ${\cal L}^1$? Ich würde erst mal sagen nein, weil eigentlich müsste das Integral ja unendlich sein darüber oder? (Wenn man die Eins-Funktion auf ganz $\mathbb{R}$ definiert und über ganz $\mathbb{R}$ integriert)

3.) Ist eine Funktion, die in ${\cal L}^{\infty}$ liegt, auch in ${\cal L}^1$?


Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-21 19:39

1) $\IR$ ist eine (bis auf Nullmengen disjunkte) Vereinigung von solchen abgeschlossenen Intervallen. Das Integral ist entsprechend die Summe der Teilintegrale.

2) Sei $\mu$ ein Maß auf $X$. Die Einsfunktion ist genau dann in $L^p(\mu)$ enthalten, wenn $\mu(X) < \infty$.

3) Siehe 2).


Red_
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Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 881
Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-21 21:07

1) Wie sieht so eine Zerlegung aus? Und darf man das Integral einfach so in unendlich viele Integrale aufteilen?

Edit:
Ach sooo, habe die Aussage falsch verstanden. Dachte wir finden eine disjunkte Vereinung, deren Komplement in \IR eine Nullmenge ist. Das hat aber irgendwie anschaulich nicht geklappt, deswegen habe ich gefragt.
Das andere ist einfach Summe mit Integral vertauschen (falls Voraussetzungen erfüllt sind... monotone Konvergenz).


Gast123
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Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 97
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22 08:05

Hallo Triceratops


1) $\IR$ ist eine (bis auf Nullmengen disjunkte) Vereinigung von solchen abgeschlossenen Intervallen. Das Integral ist entsprechend die Summe der Teilintegrale.
Das sind dann aber unendlich viele Intervalle, oder? D.h. wenn ich eine Konstante Funktion über ganz $\mathbb{R}$ integriere, ist es unendlich? (Wie in deiner Antwort zu 2.) beschrieben)


2) Sei $\mu$ ein Maß auf $X$. Die Einsfunktion ist genau dann in $L^p(\mu)$ enthalten, wenn $\mu(X) < \infty$.
Meinst du damit $L^p(\mu)$, also den Raum der Äquivalenzklassen oder ${\cal L}^p$?

3) Falls ich also als Voraussetzung habe, dass $f \in {\cal L}^p$ ist. Kann ich dann schließen, dass dann $\mu(X) < \infty$ gilt, und damit auch $f \in {\cal L}^1$ ist?


Gast123
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Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 97
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22 08:45

Zu 3.) denke ich mir nämlich folgendes:

Sei $f \in {\cal L}^{\infty}$. D.h. dann, dass $|f| \leq c$ fast überall. Daraus folgt dann $\int |f| d\mu \leq \int c d\mu < \infty$
Und daraus würde folgen, dass $f \in {\cal L}^1$ ist. Aber ich bin mir nicht sicher ober man aus $c \in \mathbb{R}$ schließen kann, dass $\int c d\mu < \infty$? Hängt das wieder davon ab, ob die Grundmenge unendlich ist? Also im Fall von $\mathbb{R}$ würde das nicht gelten?


mathsmaths
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Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 106
Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-22 10:11

Hallo, deine Idee ist schon fast richtig.

Wenn $f$ in $L^{\infty}$ liegt, gilt:

$\int_{\Omega}|f|\,d\mu(x) \leq \int_{\Omega}\|f\|_{L^{\infty}}\,d\mu(x) = \|f\|_{L^{\infty}} \int_{\Omega}1\,d\mu(x) = \|f\|_{L^{\infty}} * \mu(\Omega)$.

Beachte dabei, dass dir das Integral über die 1-Fkt. das Maß der Menge gibt, über die integriert wird. Und nun siehst du, dass eine beschränkte Funktion integrierbar ist, wenn der Integrationsbereich endliches Maß hat.

Grüße

P.S. deine Konstante $c$ enstpricht ( wie du selbst sagst - bis auf Nullmengen) genau dem wesentlichen Supremum, also $\|\cdot\|_L^{\infty}$.

P.P.S selbiges gilt im übrigen auch für Exponenten $1\leq p<q<\infty$. Also eine Funktion, die in $L^q$ liegt, liegt auch in $L^p$ - aber auch hier nur dann, wenn der Integrationsbereich endliches Maß hat. Das kannst du dir leicht mit der Hölder-Ungleichung überlegen.


mathsmaths
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Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 106
Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-22 10:43

Übrigens stimmt deine obige Behauptung im Allgemeinen nicht - nur weil eine Funktion in $L^p$ liegt, heißt das nicht, dass der Integrationsbereich endliches Maß haben muss. Falls er das allerdings hat, dann kannst du, wie bereits erwähnt, mit der Hölder-Ungleichung zeigen, dass diese Funktion auch in $L^1$ liegt.


Gast123
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Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 97
Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22 10:51

Hallo mathsmaths,

danke für die Antworten.


$\int_{\Omega}|f|\,d\mu(x) \leq \int_{\Omega}\|f\|_{L^{\infty}}\,d\mu(x)$

gilt das, weil $|f|\leq \|f\|_{L^{\infty}}$ fast überall?



Übrigens stimmt deine obige Behauptung im Allgemeinen nicht - nur weil eine Funktion in $L^p$ liegt, heißt das nicht, dass der Integrationsbereich endliches Maß haben muss. Falls er das allerdings hat, dann kannst du, wie bereits erwähnt, mit der Hölder-Ungleichung zeigen, dass diese Funktion auch in $L^1$ liegt.
D.h., falls $\Omega = \mathbb{R}$, hat der Integrationsbereich unendliches Maß und daher wäre dann f nicht $\in {\cal L}^1$ (auch wenn es in ${\cal L}^{\infty}$ liegt) ?




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Druckdatum: 2021-04-16 18:22