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Thema: Stein - Schere - Papier - Gruppoid
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Wurftomate
Junior
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Themenstart: 2021-01-23 17:36

Hallo zusammen,
ich habe Probleme bei folgender Aufgabenstellung und bin für jede Unterstützung dankbar.

In der Vorlesung wurde das Schnick-Schnack-Schuck-Gruppoid S vorgestellt. Mehrmaliges Spielen kann durch das Produktgruppoid modelliert werden.

1. Bestimmen Sie das Produktgruppoid P = S×S für das Schnick-Schnack-Schnuck-Gruppoid S mit sich selbst und geben Sie die Verknüpfungstafel an!

Es gilt \(P=S_1\times S_2\) mit \(S_1=\left(M_1,\cdot\right),\ \ S_2=\left(M_2,\cdot\right)\ \) und \(\ S_1=S_2\) sowie \(S_1\times S_2≔M1×M2,⋅.\)
Laut Definition gilt \(\left(x_1,x_2\right)\cdot\left(y_1,y_2\right)≔x1⋅y1,x2⋅y2.\)

Meine Verknüpfungstafel sieht wie folgt aus (mit Stein= r; Papier=p; Schere= s):
\(\cdot\)         r  r     r  p     r  s     p  r     p  p     p  s     s  r     s  p     s  s      
r  r r  r r  p r  r p  r p  p p  r r  r r  p r  r
r  p r  p r  p r  s p  p p  p p  s r  p r  p r  s
r  s r  r r  s r  s p  r p  s p  s r  r r  s r  s
p  r p  r p  p p  r p  r p  p p  r s  r s  p s  r
p  p p  p p  p p  s p  p p  p p  s s  p s  p s  s
p  s p  r p  s p  s p  r p  s p  s s  r s  s s  s
s  r r  r r  p r  r s  r s  p s  r s  r s  p s  r
s  p r  p r  p r  s s  p s  p s  s s  p s  p s  s
s  s r  r r  s r  s s  r s  s s  s s  r s  s s  s


Hierzu hätte ich auch eine Frage der Notation. Muss ich hier statt beispielsweise "r  r" "r\(\cdot\)r" schreiben?

2. Geben Sie alle Untergruppoide von P an!

Hier habe ich zum Einen die Frage, wie ich Untergruppoide formal richtig angebe und zum Anderen, was das für den konkreten Fall heißt. Sind mit dem Untergruppoiden die Elemente möglicher Untegruppen gemeint? Wären das dann in diesem Fall nicht die Elemente Stein, Schere und Papier (oder deren möglichen Verknüpfungen, da wir von P und nicht von S sprechen?)

3. Ist P isomorph zum Funktionengruppoid \(F = S^{[2]}\)?
Wenn ja, beschreiben Sie formal den Isomorphismus! Wenn nein, warum nicht?

Hier fehlt mir noch eine Vorstellung davon, wie F aussieht.


4. In einem Gruppoid \(G = (M,◦)\) definieren wir eine Relation \(R ⊆ M × M\) durch
$$aRb ⇔ a ◦ b = b$$ für \(a,b ∈ M\). Zeichen Sie den Relationengraphen für das Produktgruppoid        P aus dem ersten Teil!

Es wird folglich das Gruppoid \(P = (S,\cdot)\) betrachtet. Die Verknüpfungen, die die Bedingung \(aRb ⇔ a ◦ b = b\) erfüllen, sind nach meinem Verständnis \(R=\left \{ (r \cdot r),(r \cdot p), (p \cdot p),(p \cdot s),(s \cdot r), (s \cdot s)\right \}\). Aber wie zeichne ich einen entsprechenden Relationsgraphen?

5. Informieren Sie sich über die Erweiterung Stein-Schere-Papier-Echse-Spock. Geben Sie die Verknüpfungstafel für diese Erweiterung E an! Gibt es von diesem Gruppoid einen Homomorphismus in das Schnick-Schnack-Schnuck-Gruppoid S?

Meine Verknüpfungstabelle sieht wie folgt aus (mit Echse - l und Spock - Sp)

\(\cdot\)     r     p     s     l     Sp    
r r p r r Sp
p p p s l p
s r s s s Sp
l r l s l l
Sp Sp p Sp l Sp


Ja, es gibt von diesem Gruppoid einen Homomorphismus in das Schnick-Schnack-Schnuck-Gruppoid S, da sich die Elemente Stein, Schere und Papier hinsichtlich ihrer Struktur sowohl im Gruppoid S als auch im Gruppoid E gleich abbilden.


Triceratops
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24 02:06

Das Wort "Gruppoid" steht oft für Kategorien, in denen jeder Morphismus invertierbar ist, die man sich wiederum als "partiell definierte Gruppen" vorstellen kann. Daher war ich hier erst etwas verwirrt. Was ihr als Gruppoid bezeichnet, wird oft als Magma bezeichnet, und so werde ich es hier nun auch handhaben. Ein Magma ist einfach eine Menge mit einer binären Verknüpfung, ohne weitere Eigenschaften. Bei dem Magma $S$ hat man die Menge {Stein, Schere, Papier}, und die Verknüpfung gibt an, welches Element jeweils gewinnt. (Es wäre nett gewesen, wenn du diese Definition gepostet hättest, weil man dazu ja nicht direkt etwas unter den von dir genannten Stichwörtern mit Ecosia findet.)

1) Du solltest geordnete Paare mit Klammern schreiben. Die allgemeine Definition des Produktes ist also $(x_1,x_2) \cdot (y_1,y_2) = (x_1 \cdot y_1, x_2 \cdot y_2)$, und in der Verknüpfungstafel (ich werde sie nicht überprüfen, und ich sehe auch gar nicht ein, warum man jemandem so eine Aufgabe geben sollte) sollte es jeweils $(r,p)$ usw. heißen.

2. Ein Untermagma eines Magmas ist eine Teilmenge, die unter der Verknüpfung abgeschlossen ist. Deine Aufgabe ist also, diese Teilmengen anzugeben. Die leere Teilmenge und die gesamte Trägermenge sind natürlich immer Beispiele. Davon abgesehen kann man sich einmal die zyklischen Untermagmen anschauen, also solche, die von einem Element erzeugt werden. Das Magma $S$ ist aber idempotent (es gilt $e \cdot e = e$ für jedes $e$), daher auch das Produkt $P = S \times S$, sodass für jedes Element $e \in P$ das von $e$ erzeugte Untermagma einfach $\{e\}$ ist. Als nächstes schaue dir Untermagmen an, die von zwei Elementen erzeugt werden. (Ich habe mir nicht überlegt, ob dieses Strategie zum Ziel führt, aber es ist das erste, was ich hier machen würde.)

3. Wie habt ihr das Funktionenmagma denn definiert? Ohne die Definitionen kommen wir hier nicht weiter. Wenn du die Definition nicht kennst, frage sie bitte nach.

4. Bei einer Relation $R$ kannst du für jedes Paar $(a,b) \in R$ einen Pfeil von $a$ nach $b$ zeichnen. Für $S$ sieht der Graph so aus:

<math>\begin{tikzcd}[column sep=12pt]
& s \ar[dl] & \\ r \ar[rr] && p \ar[ul] \end{tikzcd}</math>

5. Deine Begründung ist unzureichend. Wiederhole die Definition eines Homomorphismus. Dann siehst du, dass du dafür insbesondere Abbildung angeben musst. Wie möchtest du die einzelnen Elemente, insbesondere Echse und Spock abbilden?


Wurftomate
Junior
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24 12:53

Vielen Dank für die Antwort!


3. Wie habt ihr das Funktionenmagma denn definiert? Ohne die Definitionen kommen wir hier nicht weiter. Wenn du die Definition nicht kennst, frage sie bitte nach.

Ich habe in meinem Vorlesungsskript folgende Definition gefunden:

Funktionenmengen Es seien \(G = (M; ◦)\) ein Gruppoid und $N$ eine beliebige Menge.
Erweitere nun \(◦\) “punktweise” zu einer Operation auf \(M^{N}: h := f ◦_{N g}\) mit
\(h(n) := f(n) ◦ g(n)\)
für alle \(n \in N\).
Satz 3.7.5 \(G^{N} := (M^{N}; ◦_N)\) ist ein Gruppoid.
Dieses werden wir auch als Funktionengruppoid ansprechen.


5. Deine Begründung ist unzureichend. Wiederhole die Definition eines Homomorphismus. Dann siehst du, dass du dafür insbesondere Abbildung angeben musst. Wie möchtest du die einzelnen Elemente, insbesondere Echse und Spock abbilden?

Hierzu hätte ich auch noch eine Rückfrage.
Nach der Definition liegt ein  Homomorphismus genau dann vor, wenn für alle \(x,y\in G\) gilt: \(f\left(x\circ y\right)=f\left(x\right)\circ f\left(y\right)\). So ließen sich bei den Gruppen E und S aber doch weder Echse noch Spock abbilden, oder? Somit läge kein Homomorphismus vor. Allenfalls von S zu E.


Triceratops
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-24 16:23

3. Du kannst dir allgemein dann $G^N \cong \prod_{n \in N} G$ überlegen.

5. Beschäftige dich erst einmal mit der Definition einer Abbildung. Du verwechselst das hier mit einer Teilmengenrelation o.ä.




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Druckdatum: 2021-04-10 16:54