Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Äquivalenz zwischen Erneuerungsprozess und Poisson-Prozess
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Massena
Junior
Dabei seit: 04.01.2021
Mitteilungen: 7
Themenstart: 2021-01-23 23:42

Hallo zusammen,

ich studiere gerade stochastische Prozesse und habe kürzlich Erneuerungsprozesse kennengelernt. Sie wurden als Verallgemeinerung des Poisson-Prozesses kennengelernt, indem man die Wartezeiten zwischen den Sprüngen beliebige Verteilungen annehmen lässt.
Damit ist per Definition jeder Poisson-Prozess ein Erneuerungsprozess.
Für einen Poisson\((\lambda)\)-Prozess beträgt die mittlere Anzahl der Erneuerungen \(\mathbb E[N(t)]\) bis zum Zeitpunkt \(t\) bekanntlich \(\lambda t\). Man nennt \(\mathbb E[N(t)]\) auch die Erneuerungsfunktion.

Folgende Bemerkung bereitet mir Kopfzerbrechen, da ich nicht (Übung) verstehe, wie man sie zeigen kann.

Man kann die Definition eines Erneuerungsprozesses zugrunde legen, wie hier:
de.wikipedia.org/wiki/Erneuerungsprozess#Definitionen
Und einen Poisson-Prozess als einen Erneuerungsprozess mit linearer Erneuerungsfunktion, also \(m(t)=\lambda t\) für ein \(\lambda > 0\) definieren.

Dazu müsste ich also zeigen, dass jeder Erneuerungsprozess mit linearer Erneuerungsfunktion exponentialverteilte Wartezeiten hat, also ein Poisson-Prozess ist.
Ich habe leider keine Idee, wie man das macht. Als Hinweis ist gegeben, dass man die Laplace-Transformation nutzen kann. Aber ich sehe nicht, wie.

Ich habe komischerweise zu der Aussage auch keine Referenz gefunden. Ist sie dazu zu trivial? Umso frustrierender, dass ich sie nicht beweisen kann.



Ich hoffe, jemand kann helfen. Vielen Dank!




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Druckdatum: 2021-04-17 19:28