Forum:  Körper und Galois-Theorie
Thema: Basis von Körpererweiterungen
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MalibuRazz
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Themenstart: 2021-01-26 13:59

Hallo,

ich soll in Algebra zeigen, dass $\gamma = \alpha + \beta$ ein primitives Element von $L/\mathbb{Q}$ ist, wobei $L:=\mathbb{Q}(\alpha,\beta)$ mit $\alpha^3=2$ und $\beta=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ und der Basis $\{1,\alpha,\alpha^2,\beta,\beta\alpha,\beta\alpha^2\}$.

Dazu: ich habe zuerst versucht (wegen Grad der Körpererweiterung $L$ über $\mathbb{Q}$ 6) ein Minimalpolynom vom Grad 6 von $\gamma=\alpha + \beta$ über $L$ zu finden, aber komme nicht weiter.
Hinweis auf dem Blatt: zeige, dass $1,\gamma, \gamma^2, \gamma^3$ linear unabhängig sind über $\mathbb{Q}$. Dazu: 1. warum reicht es diese Potenzen zu betrachten obwohl der Grad von $L$ 6 ist? Und 2. ich habe versucht diese Potenzen als Vektoren in der gegebenen Basis zu schreiben und dann die lineare Unabhängigkeit von denen festzustellen, ABER: wie stelle ich denn $\beta^2$ da? Das kommt ja nicht in der Basis vor, aber zum Beispiel in $\gamma^2=(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta + \beta^2$...

Danke für jede Hilfe!!!


Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5553
Herkunft: Berlin
Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-26 23:22

Der Thread ist zwar abgehakt, aber für andere Leser*innen: Man kann das mit dem Satz vom primitiven Element in seiner konstruktiven Version machen. Der sagt aus:

Sei $K(\alpha,\beta) / K$ eine zweifache Erweiterung eines Körpers $K$. Wenn $c \in K$ ein Element ist mit

$\displaystyle c \neq \frac{\alpha' - \alpha}{\beta - \beta'}$

für alle Konjugierten $\alpha'$ von $\alpha$ bzw. $\beta'$ von $\beta$, dann ist $\alpha + c \beta$ ein primitives Element von $K(\alpha,\beta)$.





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Druckdatum: 2021-04-17 18:30