Forum:  Polynome
Thema: Irreduzibilität folgender Polynome
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Math_user
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Themenstart: 2021-01-27 17:33

Hallo zusammen

Ich beschäftige mich aktuell mit der Irreduzibilität und beschäftige mich konkret mit diesen 2 Aufgaben:

1) Ist dieses Polynom $x^2y − xy^2 − x + y$ irreduzibel über $\Bbb Q[x,y]$?
Nun weiss ich dass $\Bbb Q [x,y] \simeq \Bbb Q[x][y]$. Somit kann ich dies als Polynom nur in Koeffizienten von $y$ auffassen oder? (Nur zum sicher gehen, umgekehrt wäre es falsch oder? Also $\Bbb Q [x,y] \simeq \Bbb Q[y][x]$?)
Schreibe ich es also etwas neu erhalte ich $f(y):=-xy^2+(x^2+1)y-x$. Nun ist der $f$ ein primitives Polynom und eigentlich würde sich hier das Eisensteinkriterium gut anwenden lassen. Aber ich finde kein geeignetes Primelement.

2) Ist $x^2 − y^2 + z^{2018} \in \Bbb Q(x, y)[z]$ irreduzibel? Hier habe ich leider keinen Ansatz...

Vielen Dank für eure Hilfe und einen guten Start in den Abend
Math_user


Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9162
Herkunft: Dortmund, Old Europe
Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-27 18:45
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

dein Polynom ist für \( y=x\) Null. Hilft dir das?

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)

Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1259
Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-27 18:56
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
2021-01-27 17:33 - Math_user im Themenstart schreibt:
(Nur zum sicher gehen, umgekehrt wäre es falsch oder? Also $\Bbb Q [x,y] \simeq \Bbb Q[y][x]$?)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)

Doch, es gilt schon auch $\Q[x,y] \cong \Q[y][x]$, schließlich sind $x$ und $y$ hier völlig symmetrisch zueinander.
\(\endgroup\)

Math_user
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Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 573
Herkunft: Deutschland
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27 19:41

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)2021-01-27 18:56 - Kezer in Beitrag No. 2 schreibt:
2021-01-27 17:33 - Math_user im Themenstart schreibt:
(Nur zum sicher gehen, umgekehrt wäre es falsch oder? Also $\Bbb Q [x,y] \simeq \Bbb Q[y][x]$?)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)

Doch, es gilt schon auch $\Q[x,y] \cong \Q[y][x]$, schließlich sind $x$ und $y$ hier völlig symmetrisch zueinander.
\(\endgroup\)

Wie meinst du symmetrisch? Wir müssen doch auf die Vorzeichen achten..


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1259
Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-27 20:01
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Ich meine $\Q[x,y] = \Q[y,x]$.
\(\endgroup\)

Triceratops
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Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-27 23:03

Bei 1) hat Wally schon geantwortet.

Bei 2) kannst du das Eisenstein-Kriterium anwenden. Du kennst sicherlich eine Faktorisierung von $x^2-y^2$.


Math_user
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-28 09:06

Guten Morgen zusammen

1) Vielen Dank Wally für deinen Input. Weil $y=x$ Null ergibt, folgt das mein Polynom eine Nullstelle hat und somit ist es reduzibel. Abe reicht dies als Erklärung?

2) Ich kann sicher $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ aufschreiben... Nun folgt, dass $(x-y)(x+y)+z^{2018}$. Nun stört mich aber dieses $z$.


Triceratops
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Mitteilungen: 5542
Herkunft: Berlin
Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-28 11:19

1) Das reicht nicht. Versuche, das Polynom zu faktorisieren.

2) Lemma: Sei $R$ ein faktorieller Ring, $u \in R$ quadratfrei, $u \neq 0$, und $n \in \IN^+$. Dann ist $z^n - u \in R[z]$ irreduzibel. Beweis: Folgt sofort aus Eisenstein. Wende das hier an.




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Druckdatum: 2021-04-14 04:53