Forum:  Numerik & Optimierung
Thema: Matrixnorm
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Numerik2020
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Themenstart: 2021-01-27 18:51

Beweisen Sie: Durch $$||A_1||=max_{j=1,...,n}\sum\limits_{i=1}^{m} |a_{ij}|, A =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & _{mn} \end{pmatrix} \in \mathbb R ^{mxn} $$ ist die der 1-Norm  $$||x||_1 = \sum\limits_{k=1}^{n} |x_k|, x =[x_1,x_2,...,x_n]^T\in \mathbb R^n$$ zugeordneten Matrixnorm gegeben.
$$||A_1||=max_{||x||_1=1} ||Ax||_1 = max\frac{||Ax||_1}{||x||_1}$$
Ich verstehe die Aufgabe nicht so richtig. Was muss ich denn zeigen? Kann mir diesbezüglich jemand einen Hinweis geben?


thepower180
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Mitteilungen: 56
Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-28 11:28

Lieber Numerik 2020,

wir haben in unserer Numerik I Vorlesung den folgenden Beweis für die Zeilensummennorm geführt. Diese Zeilensummennorm ist bekanntlich die natürliche Matrixnorm zur Chebychevnorm. Vielleicht kannst du nun analog schließen.



Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
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Herkunft: Muri AG, Schweiz
Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-28 13:55
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Lieber Numerik2020

Definition (Einsnorm).
Die Einsnorm für Vektoren $x \in \R^n$ mit Komponentenschreibweise $x=(x_1,\ldots,x_n)^T$ ist definiert als die Abbildung $\|\cdot\|_1 : \R^n \to \R_+$, gegeben durch die Abbildungsvorschrift
\[
\|x\|_1 := \sum_{k=1}^n |x_k|.
\]
Kommentar zur Einsnorm.
Für diese Vektornorm bildet man also die Summe der Beträge des Vektors, den man betrachtet.

Definition (Spaltensummennorm).
Die Spaltensummennorm einer $m \times n$-Matrix $A \in \R^{m \times n}$ mit Komponenten $a_{ij}$ sei definiert als die Abbildung $\|\cdot\|_1 : \R^{m \times n} \to \R_+$, gegeben durch die Abbildungsvorschrift
\[
\|A\|_1 := \max\left\{ \sum_{i=1}^m |a_{ij}| : 1 \leq j \leq n \right\}
\]
Kommentar zur Spaltensummennorm.
Für diese Matrixnorm bildet man also spaltenweise die Summen aller Beträge und wählt dann die grösste so erhaltene Zahl als das Resultat der Abbildung.

Randnotiz.
Es ist eine gute Übung zu zeigen, dass beide gerade definierten Abbildungen die Vektornorm- bzw. Matrixnorm-Axiome erfüllen. (Zur Erinnerung: Für Matrixnormen wird axiomatisch oftmals die Submultiplikativität vorausgesetzt, also dass für Matrizen $A$ und $B$ die Ungleichung $\|AB\|_1 \leq \|A\|_1 \|B\|_1$ gilt.)

Worum geht es in der Aufgabe also?
Bei dieser Aufgabe sollst du zwei Dinge zeigen.
Erstens:
\[
\|A\|_1 = \max_{\substack{x \in \R^n \\ \|x\|_1 = 1}} \|Ax\|_1
\] Zweitens:
\[
\max_{\substack{x \in \R^n \\ \|x\|_1 = 1}} \|Ax\|_1
=
\max_{x \in \R^n} \frac{\|Ax\|_1}{\|x\|_1}
\]
Tipp
Zeige zuerst die zweite Gleichheit auf direktem Weg mit Hilfe der Normaxiome. Die erste Gleichheit kannst du mittels beidseitiger Ungleichheit wie thepower180 gezeigt hat beweisen.

LG Phoensie😉
\(\endgroup\)

Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 423
Herkunft: Muri AG, Schweiz
Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-28 14:08
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Um die Spaltensummennorm explizit einmal vorzurechnen, betrachte die $3 \times 4$-Matrix $M$ mit Einträgen $m_{ij}$, bestimmt durch
\[
M :=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 5 & 9 & -14 \\
-3 & -2 & 2 & 0
\end{pmatrix}.
\] Die Spaltensummennorm von $M$ ist dann
\[
\begin{align*}
\|M\|_1
&= \max\left\{ \sum_{i=1}^3 |m_{ij}| : 1 \leq j \leq 4 \right\} \\
&= \max\left\{ \sum_{i=1}^3 |m_{i1}| \;,\; \sum_{i=1}^3 |m_{i2}| \;,\; \sum_{i=1}^3 |m_{i3}| \;,\; \sum_{i=1}^3 |m_{i4}| \right\} \\
&= \max\left\{ |1|+|0|+|-3| \;,\; |2|+|5|+|-2| \;,\; |3|+|9|+|2| \;,\; |4|+|-14|+|0| \right\} \\
&= \max\left\{ 1+0+3 \;,\; 2+5+2 \;,\; 3+9+2 \;,\; 4+14+0 \right\} \\
&= \max\left\{ 4 \;,\; 9 \;,\; 14 \;,\; 18 \right\} \\
&= 18.
\end{align*}
\]
Übrigens:
- Die Spaltensummennorm kann (wie auch die Zeilensummennorm) sogar auf den Raum der komplexen $m \times n$-Matrizen fortgesetzt werden, da der Betrag einer komplexen Zahl (also der Einträgen komplexer Matrizen) wohldefiniert ist.
- Als kleinen Satz könnte man folgende Beobachtung beweisen: Sei $\mathbb{K} \in \{\N,\Z,\Q,\R,\C\}$. Für alle $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$ gilt $\|A\|_1 \in \mathbb{K}$.
\(\endgroup\)



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Druckdatum: 2021-04-18 02:28