Forum:  Vektorräume
Thema: Warum ist die Basiswechselmatrix so definiert, wie sie definiert ist?
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Dusia_mag_LA
Junior
Dabei seit: 02.02.2021
Mitteilungen: 15
Themenstart: 2021-02-09 15:51

Wenn ich höre, dass $T_{AB}$ die Basiswechselmatrix von der Basis $A$ in die Basis $B$ ist, dann hätte ich eigentlich erwartet, dass gilt $B = T_{AB} \cdot A$, sprich "Die neue Basis $B$ bekomm ich, indem ich die Wechselmatrix $T_{AB}$ auf die alte Basis $A$ anwende". Meine Intuition ist da aber anscheinend völlig falsch, denn richtig ist stattdessen: $A = B \cdot T_{AB}$.

Kann mir jemand sagen, ob ich was falsch verstanden habe? Lässt sich das irgendwie erklären?


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-09 16:04

Hallo,

lies doch mal auf der Wikipedia-Seite die beiden ersten Abschnitte 'Basiswechselmatrix' und 'Spezialfälle' im Zusammenhang. Dort wird deine Frage eigentlich schon erschöpfend beantwortet.

Dein Denkfehler hier könnte u.U. darin bestehen, dass du gedanklich nicht zwischen Basen und einzelnen Elementen des Vektorraums unterscheidest.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]


StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
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Wohnort: Raun
Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-13 08:18

Hallo Dusia_mag_LA,
völlig falsch ist die erste Variante nicht, das kann auch als Definition verwendet werden, zum Beispiel in Wikipedia#Change_of_Basis. Das würde sogar noch besser zur Definition Vektorraum passen, weil dort der Skalarfaktor nur links vom Vektor steht. Doch muss man dann die Basiselemente in einen Spaltenvektor schreiben (und konsequenterweise Koordinaten als Zeilenvektor in einer Umformung ähnlich der nachfolgenden). Deshalb verwende ich lieber die zweite Variante mit (eigentlich undefiniertem) Skalarfaktor rechts vom Vektorelement:

Koordinatendarstellung eines Elements \(x\) in der Basis \(A\) (Zeilenmatrixvektor) mit dem Koordiantenvektor \(\alpha\) (Spaltenmatrixvektor):

\(x = A \alpha\).

Koordinatendarstellung des gleichen Elements \(x\) in einer neuen Basis \(B\) mit dem Koordiantenvektor \(\beta\):

\(x = B \beta\).

Transformation \(A = B T\) eingesetzt

\( B \beta = x = A \alpha = (B T) \alpha = B (T \alpha)\)

ergibt \(\beta = T \alpha\) in der Reihenfolge, die du intuitiv erwartest.

Viele Grüße,
  Stefan


Dusia_mag_LA
Junior
Dabei seit: 02.02.2021
Mitteilungen: 15
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-27 22:26

2021-02-09 16:04 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
lies doch mal auf der Wikipedia-Seite die beiden ersten Abschnitte 'Basiswechselmatrix' und 'Spezialfälle' im Zusammenhang. Dort wird deine Frage eigentlich schon erschöpfend beantwortet.

Ich habe es gerade nochmal angeschaut und mir ist immer noch nicht klar, warum die Reihenfolge eben "Alter Vektor = Koeffizient mal neuer Vektor" ist. Wenn die Koeffizienten doch für "von alt nach neu" sind, warum ist es dann nicht "Neuer Vektor = Koeffizient mal alter Vektor".


StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3848
Wohnort: Raun
Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-28 08:29

"Vektor" kann Zeilenvektor der Basiselemente oder Spaltenvektor der Koordianten (Koordinatenvektor) sein. Die Transformationsmatrix ist definiert als

alte Basis = neue Basis * Transformationsmatrix (hier \(B = B' \cdot T_{B'}^B\))

Dann folgt daraus für die Koordinatenvektoren

neuer Koordiantenvektor = Transformationsmatrix * alter Koordiantenvektor (hier \(x = T_{B'}^B \cdot x'\))

Für Koordiantenvektoren ist das die gewünschte Reihenfolge "Neuer Vektor = Koeffizient mal alter Vektor". Das ist ja auch der häufigere Anwendungsfall. Den Basiswechsel "von neu nach alt" muss man nur einmal berechnen, dann kann man für beliebig viele Punkte die Koordiantentransformation "von alt nach neu" durchführen.






tobit09
Aktiv
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 60
Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-28 17:57

Hallo Dusia_mag_LA!


Die von dir entdeckte "Unschönheit" ergibt sich nur im Spezialfall, dass die Basen $A$ und $B$ aus dem Vektorraum $K^n$ stammen.

Das Konzept einer Basiswechselmatrix ist jedoch allgemeiner: Hier können $A$ und $B$ aus einem beliebigen $K$-Vektorraum $V$ stammen. Da kann eine Matrix $T_{AB}$ schon deshalb nicht die Vektoren aus $A$ auf die Vektoren aus $B$ abbilden, weil $A$ und $B$ im Allgemeinen gar nicht dem $K^n$ entstammen.

Vielmehr möchte man haben, dass $T_{AB}$ Koordinatenvektoren von beliebigen Vektoren $v\in V$ bezüglich $A$ auf den Koordinatenvektor von $v$ bezüglich $B$ abbildet. (*)


Jede Basis $C=(v_1,\ldots,v_n)$ von $V$ induziert einen Isomorphismus $f_C:K^n\to V$, $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto\sum_{i=1}^nx_iv_i$.
Die Umkehrabbildung $f_C^{-1}:V\to K^n$ ist die Abbildung, die jedem $v\in V$ seinen Koordinatenvektor bezüglich $C$ zuordnet.

Mit diesem Wissen lässt sich (*) schreiben als: $T_{AB}\cdot(f_A^{-1}(v))=f_B^{-1}(v)$ für alle $v\in V$. (**)

Im Spezialfall $V=K^n$ lässt sich zu jeder Basis $C$ die Matrix $M_C$ bilden, die entsteht, wenn man die Vektoren aus $C$ zu den Spalten von $M_C$ macht. Dann ist $f_C(x)=M_C\cdot x$ für alle $x\in K^n$.
Die Matrix $M_C$ ist invertierbar und es gilt $f_C^{-1}(v)=M_C^{-1}\cdot v$ für alle $v\in K^n$.

Aus (**) erhalten wir somit $T_{AB}\cdot M_A^{-1}\cdot v=M_B^{-1}\cdot v$ für alle $v\in K^n$ und somit $T_{AB}\cdot M_A^{-1}=M_B^{-1}$.
Durch Umformung kommen wir somit auf $M_B\cdot T_{AB}=M_A$, also deine "unintuitive" Formel.


Viele Grüße
Tobias


StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
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Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-01 00:47

2021-02-28 17:57 - tobit09 in Beitrag No. 5 schreibt:
Das Konzept einer Basiswechselmatrix ist jedoch allgemeiner: Hier können $A$ und $B$ aus einem beliebigen $K$-Vektorraum $V$ stammen. Da kann eine Matrix $T_{AB}$ schon deshalb nicht die Vektoren aus $A$ auf die Vektoren aus $B$ abbilden, weil $A$ und $B$ im Allgemeinen gar nicht dem $K^n$ entstammen.

@tobit09: Hallo Tobias, doch, das geht, und wird in Wikipedia Basiswechsel_(Vektorraum)#Basiswechselmatrix auch so gemacht, nur nicht in Matrixschreibweise. Die alte Basis ist dort der Zeilenvektor \(B=(b_{1},\ldots ,b_{n})\), bestehend aus Elementen aus einem beliebigen Vektorraum, und die neue Basis ist \(B'=(b'_{1},\ldots ,b'_{n})\). Dann werden die alten Basiselemente einzeln als Linearkombination der neuen Basis dargestellt. Muss ja möglich sein, sonst wäre die neue Basis keine Basis.

\(b_j = a_{1j} b_1{}' + a_{2j} b_2{}' + \dots + a_{nj} b_n{}'
 = \sum_{i = 1}^n a_{ij} b_i{}', \qquad j = 1, \dots, n\)

Wenn man sich darauf verständigt, dass man ergänzend zur Vektorraumdefinition auch Skalarmultiplikation von rechts zulässt, kann man alle \(a_{ij}\) in eine Matrix \(T_{B'}^B\) packen und obige Linearkombinationen als Matrixgleichung

\(B = B' T_{B'}^B\)

schreiben. Wenn man konsequent bei Skalarmultiplikation von links bleiben will, ginge auch auch alles transponiert schreiben

\(\left(B\right)^{\operatorname{T}} = \left(T_{B'}^B\right)^{\operatorname{T}} \left(B'\right)^{\operatorname{T}}\),

doch das ist etwas umständlicher zum Weiterrechnen.

Viele Grüße,
  Stefan




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Druckdatum: 2021-05-16 19:23