Forum:  Theoretische Mechanik
Thema: Lagrange Funktion für Teilchen auf rotierender Ellipse
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Aralian
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Themenstart: 2021-02-10 16:52
Hallo, ich habe soeben versucht, die Lagrange-Funktion für einen Massenpunkt auf einer rotierendes Ellipse aufzustellen. Als generalisierte Koordinaten habe ich r und Phi gewählt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53663_rotierende_Ellipse.PNG Ich habe dann den Ortsvektor in Kugelkoordinaten aufgestellt, um die Kinetische Energie zu berechnen. x^> = (rcos(\phi)cos(\omega t);rcos(\phi)sin(\omega t);rsin(\phi)) Dies hat auch funktioniert und ich bin schlussendlich auf folgende kinetische Energie gekommen: T = m/2 (diff(x^>,t))^2 = m/2 ((diff(r,t))^2 + r^2(diff(\phi,t))^2 + r^2 \omega^2 cos^2(\phi)) Leider musste ich hierfür recht lange rumrechnen und etliche Sinus/Cosinus Terme vereinfachen, was recht lange gedauert hat. Kennt jemand eine schnellere Methode, die kinetische Energie zu berechnen?

MontyPythagoras
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-10 18:45
Hallo Aralian, bist Du sicher, dass Deine hergeleitete kinetische Energie überhaupt richtig ist? Sie mag richtig sein, das habe ich nicht nachgerechnet, aber sie berücksichtigt gar nicht die Abhängigkeit zwischen $r$ und $\varphi$, die ja gemeinsam eine Ellipse abbilden sollen. Es muss ja gelten: $$\frac{r^2\cos^2\varphi}{a^2}+\frac{r^2\sin^2\varphi}{b^2}=1$$Das könntest Du nun nach entweder $r$ oder $\varphi$ auflösen, so dass auch in Deiner kinetischen Energie nur eine der beiden Variablen auftaucht. Zu Deiner eigentlichen Frage der "Abkürzung": nöö, manchmal muss man einfach rechnen. Wenn man allgemeine Kugelkoordinaten hat, kann man sich die Formel für die kinetische Energie natürlich einmalig herleiten und immer wieder verwenden, sprich: die Zwangsbedingung dort einsetzen. Deine hergeleitete Formel ist quasi ein Mittelding, die von konstanter Winkelgeschwindigkeit um die z-Achse ausgeht, was ja ein Spezialfall ist. Ciao, Thomas

Aralian
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-11 09:54
Genau, das ist in der Skizze etwas schlecht dargestellt, aber die Winkelgeschwindigkeit ist hier konstant. Die Ellipsenbeziehung zu verwenden, um die Zahl der generalisierten Koordinaten zu verwenden, ist mir gar nicht in den Sinn gekommen. Dass man sich die kinetische Energie einfach merken kann ist zwar richtig, jedoch handelt es sich hierbei um eine Klausuraufgaben. Daher gehe ich davon aus, dass dann nicht alle Punkte geben würde. Die lange Rechnung erschien mir etwas Sinnlos, da sie keinerlei Wissen prüft. Daher ging ich davon aus, dass es evtl. eine schnellere Variante zur Ermittlung der Lagrange-Funktion bzw. der kin. Energie geben könnte. Vielen Dank für deine Antwort.

Aralian
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-11 09:59
@MontyPythagoras: Die Ellipsenbeziehung lautet ja in kart. Koordinaten: (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 Muss ich hier, wenn ich die Beziehung in Kugelkoordinaten verwenden will, nicht auch die x und y Koordinaten (bzw. in diesem speziellen Fall x und z Koordinaten) meines bereits aufgestellten Ortsvektors verwenden? In deinem Post hast du ja Polarkoordinaten verwendet, diese beachten meiner Meinung nach aber nicht die Rotation der Ellipse um die z-Achse.

MontyPythagoras
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Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-11 12:12
Hallo Aralian, wie ist die Skizze denn zu lesen? Die Ellipse soll doch nicht die perspektivische Darstellung eines Kreises in der xy-Ebene darstellen, sondern eben eine Ellipse in der hier dargestellten xz-Ebene. Die Ellipse rotiert und gibt vor, wie die Abhängigkeit zwischen $r$ und $\varphi$ sein soll, wobei ich $\varphi$ als den Winkel betrachte, den man im Bezug auf einen Globus als Breitengrad bezeichnen würde - also als Winkel zwischen dem Ortsvektor und der xy-Ebene. Und dann darf ich natürlich die Ellipsengleichung verwenden, nur dass sie hier eben $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{b2}=1$$lautet. $z$, nicht $y$, und dann darf ich natürlich $z=r\sin\varphi$ und $x=r\cos\varphi$ einsetzen, weil die Ellipse ja mitrotiert. Oder deute ich die Zeichnung komplett falsch? Ciao, Thomas

Aralian
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-11 17:02
Deine Deutung ist vollkommen korrekt. Ich habe es mittlerweile glaube ich verstanden. Mein Problem war die Bezeichnung x=rcos(\phi) Denn hierbei bezeichnet x nicht den tatsächlichen x-Wert des Massenpunktes. Gruß Aralian



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Druckdatum: 2021-09-20 15:14