Forum:  Mehrdim. Differentialrechnung
Thema: Lemma zu differenzierbaren MFK's
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Skalhoef
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Themenstart: 2021-02-18 15:44

Hi,

ich bemühe mich zur Zeit darum meine Mathematik-Kenntnisse aufzustocken. Im mathematischen Anhang der "theoretischen Mechanik" von Straumann fand ich einen Satz, dessen Beweis ich nicht ganz nachvollziehen kann.



Was mir kryptisch vorkommt ist der Schritt im Beweis, in dem geschlussfolgert wird, dass $G(a) = 0$ gelten muss; Fehlt vielleicht in der Voraussetzung, dass $p$ Komponenten von $a$ gleich Null sind, oder missverstehe ich da etwas?

Ich wäre für einen Denkanstoß sehr dankbar.


Grüße
Skalhoef


Skalhoef
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Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-22 16:27

... and no one dared disturb the sound of silence xD


shipwater
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Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-22 16:48

$G(a)=0$ sehe ich auch nicht. Geht der Beweis denn noch durch, wenn du $x_{n+1}$ durch $x_{n+1}-a_{n+1}$ ersetzt etc?

Gruß Shipwater


Skalhoef
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-24 08:40

Hallo Shipwater,

vielen Dank für deinen Input.

2021-02-22 16:48 - shipwater in Beitrag No. 2 schreibt:
Geht der Beweis denn noch durch, wenn du $x_{n+1}$ durch $x_{n+1}-a_{n+1}$ ersetzt etc?

Und was wäre deine Begründung für eine solche Ersetzung?

Ich hatte mir gedacht, dass da vielleicht einfach ein paar Sachen "fehlen" bzw. zwischen den Zeilen stehen. Der Kontext ist ja "differenzierbare Mannigfaltigkeiten". (Unten ist der restliche Stoff zu diesem Thema, der unmittelbar vor dem Lemma steht.)

Vielleicht ist da ja gemeint, dass $a$ ein Element einer $n$-dimensionalen MFK im $\mathbb{R}^{n + p}$ ist, und $U$ soll eine offene Menge im Sinne der Definition B.2 sein. Dann könnte man noch die Abbildung $g$ als Funktion von $\widetilde{V} \cap (\mathbb{R}^n \times \{0\}^{p})$ (wobei ich mit $\widetilde{V}$ die Menge aus Definition B.2 meine) nach $\mathbb{R}^n$ auffassen. Und dann schreibt man halt $g(a)$, obwohl man eigentlich nicht eine Abbildung meint, die von der MFK nach $\mathbb{R}^n$ abbildet, sondern die oben beschriebene.

... So eine ähnliche Notation habe ich schonmal in der Physik erlebt, siehe hier.

... Was mich ein bisschen stört, ist die Menge an Dingen die man sich dazu-reimen müsste, oder ist das üblich bei diesem Thema? Was hältst du von dieser Interpretation?
... Ich habe irgendwie das Gefühl, dass das wirklich ganz ähnlich zu dieser Physik-Notation ist die ich im anderen Thread beschrieben habe, aber der Groschen will irgendwie nicht ganz fallen...


Grüße
Skalhoef



shipwater
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Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-24 09:44

2021-02-24 08:40 - Skalhoef in Beitrag No. 3 schreibt:
Und was wäre deine Begründung für eine solche Ersetzung?

Für $G:U \to \mathbb{R}^{n+p}, G(x)=(g_1(x),...,g_n(x),x_{n+1}-a_{n+1},...,x_{n+p}-a_{n+p})$ gilt dann wirklich $G(a)=0$. Überlege dir ob der Rest des Beweises damit durchgeht.

2021-02-24 08:40 - Skalhoef in Beitrag No. 3 schreibt:
Was hältst du von dieser Interpretation?

Nichts. Ich gehe stark davon aus, dass alles so gemeint ist wie es da steht.

Edit: Nur bei der Definition von $V$ in der Formulierung des Lemmas scheint etwas nicht zu passen. Die Umgebung von $0$ in $\mathbb{R}^{n+p}$ sollte wohl $V$ heißen und nicht die Umgebung von $a$. Im Beweis passt das aber.

Gruß Shipwater


Skalhoef
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-24 17:45

Hallo Shipwater,

vielen Dank für die Antwort.

2021-02-24 09:44 - shipwater in Beitrag No. 4 schreibt:
Für $G:U \to \mathbb{R}^{n+p}, G(x)=(g_1(x),...,g_n(x),x_{n+1}-a_{n+1},...,x_{n+p}-a_{n+p})$ gilt dann wirklich $G(a)=0$. Überlege dir ob der Rest des Beweises damit durchgeht.

Ich würde sagen: Ja... Wenn da die Abbildung $G$ von dir steht, dann dürfte der Rest auch ok sein.

2021-02-24 09:44 - shipwater in Beitrag No. 4 schreibt:
2021-02-24 08:40 - Skalhoef in Beitrag No. 3 schreibt:
Was hältst du von dieser Interpretation?

Nichts. Ich gehe stark davon aus, dass alles so gemeint ist wie es da steht.

xD Ja... irgendwie würde es mir jetzt im Nachhinein auch komisch vorkommen. Ich glaube du hast recht! Ich danke dir vielmals! Ich mache einen Haken an das Thema. (Sofern es keine Einwände gibt. :) )


Viele Grüße
Skalhoef


shipwater
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Beitrag No.6, eingetragen 2021-02-25 09:42

2021-02-24 17:45 - Skalhoef in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich würde sagen: Ja... Wenn da die Abbildung $G$ von dir steht, dann dürfte der Rest auch ok sein.

Seh ich auch so.

Gruß Shipwater




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Druckdatum: 2021-05-16 19:30