Forum:  Algebraische Geometrie
Thema: Assoziierte Garbe von injektivem Modul
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Saki17
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Themenstart: 2021-02-22 22:43
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}}\)
Hallo,

ich denke die fragliche Aussage soll einige Maße standard sein:

Aussage. Sei $X:=\spec A$ ein affines Schema mit $A$ noethersch und $I$ ein injektiver $A$-Modul. Dann ist die assoziierte Garbe $\tilde{I}$ ein injektives Objekt in der Kategorie der $\O_X$-Moduln.

Diese Aussage steht in z.B. Hartshornes "Residues and Duality", Cor. II.7.14.

Ich interessiere mich dennoch, ob man diese auch direkt beweisen kann. Ferner möchte ich nach einem Gegenbeispiel suchen, wenn $A$ nicht noethersch ist.

Hat jemand eine Idee?
\(\endgroup\)

Triceratops
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-22 22:45

Die Fragen werden hier beantwortet:

mathoverflow.net/questions/14737/
mathoverflow.net/questions/6762

Edit: Ich hoffe das war jetzt nicht unhöflich. Wenn du noch weitere Fragen hast, gerne. Aber schau mal vorher in die Threads rein.


Saki17
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-24 03:13

Ich sehe keinen direkten Ansatz zu meiner ersten Fragen in diesen Links (vielleicht ist Hartshornes Ansatz nicht besonders schwer), trotzdem danke! Das können wir mal beiseite legen.

Zum mathoverflow.net/questions/14737 . Könntest du das Gegenbeispiel von Verdier (in deinen eigenen Worten) ins Deutsche übersetzen?


Triceratops
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-25 11:18

Die Antwort auf deine erste Frage ist laut der Links (mehr oder weniger), dass es keinen einfacheren Beweis gibt. Zur zweiten Frage: Du hast Probleme mit der französischen Sprache bei Verdier, oder auch inhaltliche Probleme?


Saki17
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-25 14:18

Eher mit der französischen Sprache. Ich kann leider Fränzösisch nicht bzw. nur sehr langsam mit Wörterbuch lesen; das Beispiel verweis noch auf anderen Teil der EGA; es wäre schön wenn du das Beispiel hier direkt aufschreiben könntest.


Triceratops
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Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-25 16:21

Ich übersetze erst einmal die relevanten Stellen. (In eigenen Worten kann ich das derzeit noch nicht wiedergeben.) Es gibt ja hier so einige EGA-Referenzen; welche interessieren dich denn? Schon einmal vorab: vermutlich werde ich in den nächsten Tagen nicht antworten können.
 
Wir brauchen das folgende Lemma.

---

Lemma 1 (SGA 2 II 9). Sei $A$ ein kommutativer Ring, $X = \mathrm{Spec}(A)$, $f = (f_\alpha)_{\alpha}$ ein endliches System von Elementen von $A$, und $Y \subseteq X$ die abgeschlossene Teilmenge, die durch $f(x)=0$ definiert ist. Für $i > 0$ sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(i) Für jeden injektiven $A$-Modul $I$ ist $H^i_Y(X,\widetilde{I})=0$.
(ii) Das Pro-Objekt $n \mapsto H_i(f^n,A)$ ist Null, das heißt für jedes $n$ gibt es ein $n' \geq n$, sodass $H_i(f^{n'},A) \to H_i(f^n,A)$ Null ist.

---
 
Nun sei $k$ ein Körper, $B = k[[x,y]]$ der Ring der formalen Potenzreihen in zwei Variablen, $f$ das System $(x,y)$, $M = \bigoplus_{n \geq 0} B/(f^n)$, $A$ die $B$-Algebra $D_B(M)$ (EGA 0IV 18.2.3). (Das ist einfach die $B$-Algebra mit dem unterliegenden $B$-Modul $B \oplus M$ und der naheliegenden Multiplikation mit $M \cdot M = 0$.) Dann gilt trivialerweise

$H^A_2(f^n,A) \cong H^B_2(f^n,A).$
 
Andererseits gilt

$H^B_2(f^n,A) \cong H^B_2(f^n,B) \oplus H^B_2(f^n,M)$

aber $H^B_2(f^n,B)=0$ weil $f$ eine reguläre Folge ist (EGA III 1.1.4 und 0IV 15.1.20), also gilt

$H^B_2(f^n,A) \cong H^B_2(f^n,M).$

Schließlich gilt (EGA II 1.1.3.3)

$H^B_2(f^n,M) \cong H^0_B(f^n,M),$

wobei sich $H^0_B(f^n,M)$ mit dem Untermodul ${}_{(f^n)} M$ von $M$ identifiziert, der von $f^n$ annulliert wird. Daher gilt

$(\ast) \qquad H^A_2(f^n,A) \cong {}_{(f^n)} M.$

Weil der Übergangsmorphismus $H^A_2(f^{n'},A) \to H^A_2(f^n,A)$ von der Multiplikation mit $f^{n'-n}$ induziert ist (EGA III 1.1.6), prüft man leicht mit Hilfe von $(\ast)$ nach, dass das Pro-Objekt $n \mapsto H^A_2(f^n,A)$ nicht Null ist. Also folgt aus dem Lemma 1, dass es einen injektiven $A$-Modul $I$ gibt mit $H^2_Y(X,\widetilde{I}) \neq 0$, sodass insbesondere $\widetilde{I}$ nicht schlaff (flasque) ist; erst recht ist $\widetilde{I}$ nicht injektiv (denn jede injektive Garbe ist schlaff).


Saki17
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-25 17:33
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}}\)
Danke sehr für die ausführliche Übersetzung! (Ich habe nicht erwartet, dass du die Begründung auch mitübersetzt...)

Ein paar Fragen vorweg:
1. Was ist ein Pro-Objekt (in (ii) des Lemmas 1) im Allgemeinen? Oder ist das schlechthin die Beschreibung nach "das heißt für ..."?
2. Wie ist $f^n$ bzw. $H_i(f^n,A)$ zu verstehen? (Soweit kenne ich nur $H^i(X,\mathcal{F})$, die i-te Garbe-Kohomologie des globalen Schnittfunktors; für $H_i$ nimmt man vielleicht den passenden Dual dazu; Also ist hier $A$ als konstante Garbe zu interpretieren? und wie ist mit $H_i(f^n,-)$...?)
\(\endgroup\)

Triceratops
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Beitrag No.7, eingetragen 2021-02-26 16:54

Es kommen auch die lokale Kohomologiegruppen $H^i_Y(X,F)$ vor (siehe etwa Wikipedia). Für ein endliches System von Elementen $f$ von $A$ definiert man (das entnehme ich hier aus der Fußnote in der genannten SGA-Referenz) die Koszul-Kohomologie $H^{\bullet}(f,M)$ als die Kohomologie des Koszul-Komplexes $\mathrm{Hom}(K_{\bullet}(f),M)$ (EGA III 1.1.2, siehe auch Wikipedia), außerdem

$H^{\bullet}((f),M) := \varinjlim_n H^{\bullet}(f^n,M).$

Es besteht (laut SGA 2 II 5, wird auch bei Wikipedia erwähnt) der Zusammenhang

$H^i((f),M) \cong H_{Y}^i(X,\widetilde{M}),$

wenn $Y$ die durch $f(x)=0$ definierte abgeschlossene Teilmenge von $X = \mathrm{Spec}(A)$ ist. Ich gehe davon aus, dass $H_{\bullet}(f,M)$ dann die Koszul-Homologie, also die Homologie des Komplexes $K_{\bullet}(f) \otimes M$ ist. Für Koszul-(Ko)homologie gibt es auch einen Abschnitt im Buch von Weibel.

Zur anderen Frage: es wird dort die Bedingung, dass das Pro-Objekt $(n \mapsto H_i(f^n,A))$ Null ist, äquivalent umgeformt. Zur Definition von Pro-Objekten siehe etwa nlab.


Saki17
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26 23:46

Danke (dieses Gegenbeispiel könnte ich erst später genießen).




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Druckdatum: 2021-05-17 02:52