Forum:  Fourierreihen
Thema: Fourier komplex: Aufsummierung -∞ bis +∞
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marathon
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Themenstart: 2021-02-24 15:02

hallo hier nach einigen Wochen wieder eine Meldung von "Mathe-Sorgenkind" Markus
Gut jeder steht eben da wo er eben einmal steht  habe hier wieder eine Aufgabe die mit dem Fourier Thenenkomplex zusammenhängt
Zuerst als das ganze als Bilddokument




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sonnenschein96
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-24 18:11

Hallo Markus,

es gilt \[|\operatorname{sinc}(k\frac{\pi}{2})|=\frac{|\sin(k\frac{\pi}{2})|}{|k|\frac{\pi}{2}}.\] Wenn \(k\) gerade ist, ergibt dies \(0\), außer für \(k=0\), da ergibt dies \(1\). Wenn \(k\) ungerade ist, ergibt dies \(\frac{2}{|k|\pi}\). Schau Dir dazu die Werte \(\sin(k\frac{\pi}{2})\) mit ganzzahligem \(k\) an.

Du erhältst also \(c_0=1\), \(c_k=0\) für gerade \(k\neq0\) und \(c_k=\frac{2}{|k|\pi}e^{-jk\frac{\pi}{2}}\) für ungerade \(k\).

Nun setzt Du dies in \(y(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_ke^{jk2\pi f_P t}\) ein und beachtest noch \(f_P=\frac{1}{T_P}=\frac{1}{2}\). Dies ergibt \[y(t)=1+\sum_{k=-\infty, k\text{ ungerade}}^\infty \frac{2}{|k|\pi}e^{-jk\frac{\pi}{2}}e^{jk\pi t}=1+\sum_{k=1,3,5,\ldots} \frac{4}{k\pi}\cos(k(\pi t-\frac{\pi}{2})).\]

Edit: Hier das Bild für \(k\leq7\) (offenbar falsch, siehe nächster Beitrag):


sonnenschein96
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Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-24 19:59

Die Musterlösung ist glaube ich falsch. Die Gleichung \(\arg(c_k)=-k\frac{\pi}{2}\) stimmt nicht. Es muss \(\arg(c_k)=-k\frac{\pi}{2}\) für \(|k|=1,5,9,\ldots\) und \(\arg(c_k)=-k\frac{\pi}{2}+\pi\) für \(|k|=3,7,11,\ldots\) sein.

Für ungerade \(k\) sollte es dann \(c_k=\frac{2}{|k|\pi}e^{-jk\frac{\pi}{2}}\) für \(|k|=1,5,9,\ldots\) und \(c_k=\frac{2}{|k|\pi}e^{-j(k\frac{\pi}{2}-\pi)}\) für \(|k|=3,7,11,\ldots\) sein.

Das Ergebnis ist dann
$$ \begin{align*}
y(t)&=1+\sum_{|k|=1,5,9,\ldots}\frac{2}{|k|\pi}e^{-jk\frac{\pi}{2}}e^{jk\pi t}+\sum_{|k|=3,7,11,\ldots}\frac{2}{|k|\pi}e^{-j(k\frac{\pi}{2}-\pi)}e^{jk\pi t}\\
&=1+\sum_{k=1,5,9,\ldots}\frac{4}{k\pi}\cos(k\pi t-k\frac{\pi}{2})+\sum_{k=3,7,11,\ldots}\frac{4}{k\pi}\cos(k\pi t-k\frac{\pi}{2}+\pi)\\
&=1+\sum_{k=1,3,5,\ldots}\frac{4}{k\pi}\sin(k\pi t).
\end{align*}
$$
Edit: Für jedes \(k>0\) wurde dabei jeweils der Summand mit dem für \(-k\) zusammengefasst und die Rechenregel \(e^{jx}+e^{-jx}=2\cos(x)\) verwendet. Weiter wurde \(\cos(y-\frac{\pi}{2}+2n\pi)=\sin(y)\) für ganzzahlige \(n\) benutzt.

Edit: Hier das Bild für \(k\leq7\):


marathon
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-25 15:24

hallo an Sonnenschein96 zuerst einmal super Dank für die Tolle Mühe  besteht nicht auch die Möglichkeit es zuerst mit der klassischen Methode über Cosinus Uns Sinus zu knacken mit Cosinus für den Realteil und sinus für den Imaginär teil habe hie vor einigen Monaten eine Aufgabe  gepostet wo ich allerdings in einem sehr sehr langwierigen Prozess mit Matroid Hilfe mich bei der Damaligen Aufgabe der Lösung  annähern durfte.
toll wäre es natürlich beide Varianten zu beherrschen bzw diese ineinander überführen zu können. die Aufage damals sah so aus
Yilmatz eine Zufallsbegegbnung aus der bahn der in Stuttgart an der dortigen UNI Mathe studiert hat war damals so super nett mir diese Ausgabe im Detail aufzuschlüsseln hab ihn leider aus den Augen verloren danke soweit werde als versuchen auch den Weg mit sin und cos zu versuchen







marathon
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-25 15:46

by der eingefügten Bildserie von Yilmatz dem vormaligen Mathestudenten war das erste Bild natürlich eine andere   eine ( Stochastik)Aufgabe betreffend
Sorry immer diese Zerfahrenheit....
 mfg Markus


sonnenschein96
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Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-25 17:47

Sicherlich kannst Du dies auch mit \(\cos\) und \(\sin\) lösen. Die Koeffizienten sind wenn ich das richtig im Kopf habe dann für \(k\geq0\)
\[a_k=\frac{2}{T_P}\int_0^{T_P}x(t)\cos(k\omega t)\,dt=\int_0^12\cos(k\pi t)\,dt\] und für \(k\geq1\)
\[b_k=\frac{2}{T_P}\int_0^{T_P}x(t)\sin(k\omega t)\,dt=\int_0^12\sin(k\pi t)\,dt.\] Dies ergibt \(a_0=2\), \(a_k=0\) für \(k\geq1\), \(b_k=\frac{2}{k\pi}(1-\cos(k\pi))\). Letzteres ist gleich \(0\) für gerade \(k\) und gleich \(\frac{4}{k\pi}\) für ungerade \(k\). Die Fourier-Reihe ist dann
\[y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty a_k\cos(k\omega t)+\sum_{k=1}^\infty b_k\sin(k\omega t)=1+\sum_{k=1,3,5,\ldots} \frac{4}{k\pi}\sin(k\pi t).\]

Edit: Wenn Du willst, dass die Fourier-Reihe tatsächlich punktweise gegen \(x\) konvergiert, dann musst Du \(x(t)=1\) für \(t\in\mathbb{Z}\) setzen. Siehe auch
de.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Bedingung


marathon
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26 17:40

und  das ist natürlich in Anbetracht meiner nicht vorhandenen oder nur bescheiden vorhandenen Mathetiefenerkenntnis  doch ziemlich kompakt für mich

 Noch eine Frage die Yilmaz Aufgabe wie würde da die Endlösung in der Euler Darstellung aussehen.Ich hoffe ich bin nicht zu unverschämt mit meinen Anfragen die bisher gewährter Hilfestellung ist schon super toll!!!


MFG Markus


sonnenschein96
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Beitrag No.7, eingetragen 2021-02-26 20:38

2021-02-26 17:40 - marathon in Beitrag No. 6 schreibt:
und  das ist natürlich in Anbetracht meiner nicht vorhandenen oder nur bescheiden vorhandenen Mathetiefenerkenntnis  doch ziemlich kompakt für mich

Dann musst Du schon genauer sagen, an welcher Stelle Du etwas nicht verstehst. Ich habe nur elementare Rechenregeln benutzt, die man schon in der Schule lernt. Diese habe ich natürlich als bekannt vorausgesetzt.


2021-02-26 17:40 - marathon in Beitrag No. 6 schreibt:
Noch eine Frage die Yilmaz Aufgabe wie würde da die Endlösung in der Euler Darstellung aussehen.

Probier es doch mal selbst auszurechnen. Du musst einfach
\[c_k=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-jk\omega t}\,dt\] für \(k\in\mathbb{Z}\) berechnen.


Man kann auch die Koeffizienten \(a_k\) und \(b_k\) bzw. \(c_k\) ineinander umrechnen. Es gilt
\[c_0=\frac{a_0}{2},\, c_k=\frac{1}{2}(a_k-jb_k) \,(\text{für }k>0),\, c_k=\frac{1}{2}(a_{-k}+jb_{-k}) \,(\text{für }k<0)\] bzw.
\[a_k=c_k+c_{-k}\,(\text{für }k\geq0),\, b_k=j(c_k-c_{-k})\,(\text{für }k\geq1).\]


marathon
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05 15:16

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sonnenschein96
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Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-05 15:31

Deine Umformungen sind richtig. Ich habe Beitrag 2 editiert, dort steht jetzt wie man auf die Cosinus- und Sinus-Terme kommt.




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