Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: rechtsstetige Markovprozesse
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sulky
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Themenstart: 2021-02-24 22:53

Hallo zusammen?

Ich habe eine Verständnissfrage zu rechts-stetigen MK.

Gemäss Definition gilt: dass für jedes $\omega\in \Omega$ ein $\epsilon$ existiert, sodass: $X_s(\omega)=X_t(\omega)$ für $t\le s \le t+\epsilon$.

Im Kontext von dem was Vorausgeht nehme ich an dass $X_s$ und $X_t$ exponentiell verteilt sind.

Bedeutet die Bedingung nicht etwa? dass sich für eine Zeitdauer $\epsilon >0$ der Zustand nicht ändert?

Falls ja, liegt dies nicht im Wiederspruch zur exponentialverteilung?


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2128
Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-25 00:12

2021-02-24 22:53 - sulky im Themenstart schreibt:
Bedeutet die Bedingung nicht etwa? dass sich für eine Zeitdauer $\epsilon >0$ der Zustand nicht ändert?

Vor ein paar Wochen hatten wir schon mal über Folgendes gesprochen:

2021-02-01 00:59 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
Der Zustandsraum einer zeitstetigen Markow-Kette ist ein diskreter Raum (endlich wie $\{1,2,3,4,5\}$ oder oder abzählbar wie $\mathbb Z$). $X_t$ "springt" daher zu bestimmten Zeiten von einem Zustand in einen anderen.

Und zwischen diesen Zeiten ändert sich $X_t$ eben nicht.

Ob man an den Sprungstellen $X_t$ rechts- oder links-stetig definiert, ist mehr oder weniger reine Konvention.

2021-02-24 22:53 - sulky im Themenstart schreibt:
Falls ja, liegt dies nicht im Wiederspruch zur exponentialverteilung?

Nein, die Exponentialverteilung ist dafür zuständig, wann die Sprünge stattfinden.

--zippy


sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-25 06:20

hallo Zippy,

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Aber eben, es existiert ein Zeitintervall $\epsilon >0$ in dem sich der Zustand nicht ändern kann.

Gemäss exponentialverteilung ändert sich doch der Zustand im Zeitintervall $\frac{\epsilon}{2}$ mit einer Wahrscheinlichkeit grösser null.


Stimmt das nicht?


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2128
Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-25 07:55

2021-02-25 06:20 - sulky in Beitrag No. 2 schreibt:
Gemäss exponentialverteilung ändert sich doch der Zustand im Zeitintervall $\frac{\epsilon}{2}$ mit einer Wahrscheinlichkeit grösser null.

Du betrachtest hier $X_t(\omega)$ für ein festes $\omega$. In diesem Zusammmenhang ergibt es keinen Sinn mehr, von Wahrscheinlichkeiten zu reden. Die kommen erst ins Spiel, wenn man sich fragt, "wie wahscheinlich" dieses eine $\omega$ im Vergleich zu den anderen $\omega\in\Omega$ ist.


sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1671
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-25 12:23

Ja genau, vielen Dank zippy,

Das ist genau das stichwort, welches ich brauchte.

Bezüglich der Explosionszeit habe ich noch eine ähnliche Frage aber ich schaue nun erst mal selber ob sich das nciht bereits geklärt hat




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Druckdatum: 2021-05-15 23:33