Forum:  Taylorentwicklungen
Thema: Taylorreihe des Log - Konvergenz
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WagW
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Themenstart: 2021-02-24 23:42

Hallo zusammen,

ich weiß, dass die Taylorreihe des Logarithmus, im Punkt $x=1$ entwickelt, punktweise konvergiert (also wenn $x\in(0,2)$ ). Hierbei sei $S_n(x):=\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}k(x-1)^k$.

Wie zeige ich, dass die Taylorreihe nicht gleichmäßig konvergieren kann?

Mein Ansatz:

Für alle $x\in(0,2)$ existiert $\ln x = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}k(x-1)^k$ bekanntlich. Sei nun $(0,\delta)\subseteq(0,2)$ ein beliebiges Intervall (offen, halboffen,abgeschlossen). Um zu zeigen, dass keine gleichmäßige Konvergenz vorherrscht, wenden wir das Cauchy-Kriterium an bzw. zeigen, dass dieses nie erfüllt sein kann, also: $\exists \epsilon>0$, sodass für alle $n_0\in\mathbb{N}$ es, $n>m>n_0$ gibt, sodass $\Vert S_m-S_n\Vert_{\infty}\geq\epsilon$.

Wir nehmen an, dass $0<\delta\leq1$ und beachten, dass $0\leq1-x<1$ und somit $(1-x)^k\leq(1-x)^{k+1}$.

Dann schätzen wir ab: $\Vert S_m-S_n\Vert_{\infty}\geq|S_n(x)-S_m(x)|=|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(-1)^{k+1}}k(x-1)^k|=|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(-1)^{2k+1}}k(1-x)^k|=|-\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(1-x)^k}k|\geq \sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(1-x)}k=(1-x)\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{1}k$. Da die harmonische Reihe divergiert, kann das Cauchy-Kriterium nie erfüllt sein.

Im Fall $1<\delta<2$ geht das aber irgendwie nicht so einfach. Ich habe sogar den Eindruck, dass die Taylorreihe für $x\in(1,2)$ gleichmäßig konvergiert, weil da dann eine Leibniz-Reihe auftaucht, aber man findet halt kein fixes $x\in(1,2)$!?

$|S_n(x)-S_m(x)|=|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(-1)^{k+1}}k(x-1)^k|=...$?

Ist der erste Teil denn wenigstens richtig? Und wie geht man beim zweiten Teil vor?

Viele Grüße
WagW


ochen
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-25 08:04

Hallo

2021-02-24 23:42 - WagW im Themenstart schreibt:
Hallo zusammen,

ich weiß, dass die Taylorreihe des Logarithmus, im Punkt $x=1$ entwickelt, punktweise konvergiert (also wenn $x\in(0,2)$ ). Hierbei sei $S_n(x):=\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}k(x-1)^k$.

Wie zeige ich, dass die Taylorreihe nicht gleichmäßig konvergieren kann?

Mein Ansatz:
\[\ldots=|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(-1)^{k+1}}k(x-1)^k|=|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(-1)^{2k+1}}k(x-1)^k|
\]
Der Schritt ist leider falsch. Es geht eher um den Punkt $x=1$. Untersuche $x$ also nicht in der Nähe der Null, sondern in der Nähe der 1.


WagW
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-25 10:17


Hallo ochen,

Wie meinst Du das ?

2021-02-25 08:04 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo

2021-02-24 23:42 - WagW im Themenstart schreibt:
[...]

Mein Ansatz:
\[\ldots=|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(-1)^{k+1}}k(x-1)^k|=|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{(-1)^{2k+1}}k(x-1)^k|
\]
Der Schritt ist leider falsch. Es geht eher um den Punkt $x=1$. Untersuche $x$ also nicht in der Nähe der Null, sondern in der Nähe der 1.

Bei dem was Du zitierst sind $x$ und $-1$ vertauscht, das ist bei mir nicht?!


ochen
Senior
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-25 10:39

Hallo,

entschuldige bitte, das, was ich geschrieben hatte, war Unsinn.




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Druckdatum: 2021-05-06 00:33