Forum:  Algebraische Geometrie
Thema: H^1-Term in Čech-Kohomologie
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Saki17
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Mitteilungen: 753
Themenstart: 2021-02-25 02:13
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}}\)
Hallo,

betrachten wir Abs. 24 von Serres FAC (achinger.impan.pl/fac/fac.pdf) sowie die Notation dort. Ich hätte eine Frage zur exakten Sequenz in Cor. 1.

Um die Exaktheit da zu bekommen, wollen wir nicht zeigen, dass der natürliche Morphismus
\[
H^1_0(X,\mathscr{C})\to H^1(X,\mathscr{C})
\] nicht nur injektiv (Prop. 6), sondern auch surjektiv ist? Denn dann können wir Prop. 5 anwenden. Oder ist das schon implizit gezeigt?

\(\endgroup\)

Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1335
Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-25 06:47
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Hi,

reicht nicht bereits Injektivität? Die Sequenz endet in $$ H^1(X, \mathscr A) \to H^1(X, \mathscr{B}) \to H_{0}^1(X, \mathscr{C}) \hookrightarrow H^1(X, \mathscr{C}).$$ Der linke Teil ist exakt nach Proposition 5, aber der injektive Morphismus ändert den Kern der letzten Abbildung nicht, also $$ \ker(H^1(X, \mathscr{B}) \to H_{0}^1(X, \mathscr{C})) = \ker(H^1(X, \mathscr{B}) \to H_{0}^1(X, \mathscr{C}) \hookrightarrow H^1(X, \mathscr{C})),$$ d.h. es bleibt exakt.
\(\endgroup\)

Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 753
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-25 10:45

Ach natürlich, danke!




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Druckdatum: 2021-06-23 22:51