Forum:  Integration im IR^n
Thema: Volumen des Schnitts eines Zylinders mit einer Kugel
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Phoensie
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Themenstart: 2021-02-25 08:45
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Hallo zusammen

Ich wüsste bei folgender Aufgabe gerne, ob ich einen Fehler drin habe. Das Schlussresultat ist nach Angaben des Profs korrekt, was mir ein gutes Gefühl dabei gibt...

Danke im Voraus für alle Anregungen. LG Phoensie😉

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Die Aufgabe.
Man höhle in der am Ursprung zentrierten Kugel $K = B_r(0) \subseteq \R^3$ mit Radius $r$ einen Zylinder
\[    \begin{align*}
        Z = \{(x,y,z) \in \R^3 \mid x^2 + y^2 \leq \rho^2\}
    \end{align*}
\] mit Radius $0 < \rho < r$ aus. Berechne das verbleibende Volumen $K \setminus Z$.

Mein Lösungsweg.
Aufgrund der Aufgabenstellung haben wir sicherlich die Einschränkung
    \[
    0 < \operatorname{Vol}(K \setminus Z) < \operatorname{Vol}(K) = \frac{4 \pi}{3} r^3.
    \] Wir können das Volumen des Durchschnitts $K \cap Z$ berechnen, denn der Graph der Abbildung $f_\rho:\R^2 \to \R_+,\,f_r(x,y)=\sqrt{r^2-x^2-y^2}$ bildet den Zylinderquerschnitt der $xy$-Ebene auf den zugehörigen $z$-Wert auf dem Rand der oberen Hälfte der Kugel $B_r(0) \subseteq \R^3$ ab. Das Volumen von $K \cap Z$ ist dann zweimal das Integral von $f_r$ über den Zylinderquerschnitt (aufgrund der Symmetrie von $K \setminus Z$ bezüglich der $xy$-Ebene).
   
Dann gilt:
\[
    \begin{alignat*}{3}
        \operatorname{Vol}(K \setminus Z)
        &= \operatorname{Vol}(K) - \operatorname{Vol}(K \cap Z)
        && \color{red}{\text{, denn }K = (K \cap Z) \sqcup (K \setminus Z)} \\
        &= \operatorname{Vol}(B_r(0)) - \operatorname{Vol}(K \cap Z)
        && \color{red}{\text{, denn }K = B_r(0).} \\
        &= \frac{4 \pi}{3} r^3 - \operatorname{Vol}(K \cap Z)
        && \color{red}{\text{, weil $B_r(0)$ eine euklidische Kugel ist.}}  \\
        &= \frac{4 \pi}{3} r^3 - 2\int_{\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq \rho^2\}} f_r(x,y) \mathrm{d}(x,y)
        && \color{red}{\text{, gemäss vorheriger Überlegung.}} \\
        &= \frac{4 \pi}{3} r^3 - 2\int_{\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq \rho^2\}} \sqrt{r^2 - x^2 - y^2} \mathrm{d}(x,y)
        && \color{red}{\text{, nach Definition von $f_r$.}} \\
    \end{alignat*}
    \] Mittels Transformation in Polarkoordinaten können wir den Integrationsbereich umschreiben und das Integral anschliessend mit dem Satz von Fubini in ein iteriertes Integral umschreiben:
\[    \begin{align*}
        \int_{\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq \rho^2\}} \sqrt{r^2 - x^2 - y^2} \mathrm{d}(x,y)
        &= \int_0^\rho \int_0^{2\pi} \sqrt{r^2 - (v\cos\varphi)^2 - (v\sin\varphi)^2} v\mathrm{d}\varphi \mathrm{d}v \\
        &= \int_0^\rho \int_0^{2\pi} \sqrt{r^2 - v^2(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi)} v\mathrm{d}\varphi \mathrm{d}v \\
        &= \int_0^\rho \int_0^{2\pi} \sqrt{r^2 - v^2} v\mathrm{d}\varphi \mathrm{d}v \\
        &= \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi \int_0^\rho v \sqrt{r^2 - v^2} \mathrm{d}v \\
        &= 2\pi \int_0^\rho v \sqrt{r^2 - v^2} \mathrm{d}v.
    \end{align*}
\] Dies setzen wir in obige Rechnung ein und verfahren weiter:
\[
\begin{alignat*}{3}
        \operatorname{Vol}(K \setminus Z)
        &= \frac{4 \pi}{3} r^3 - 4\pi \int_0^\rho v \sqrt{r^2 - v^2} \mathrm{d}v
        && \color{red}{\text{, gemäss vorherigen Überlegungen.}} \\
        &= \frac{4 \pi}{3} r^3 + 2\pi \int_0^\rho (-2v) \sqrt{r^2 - v^2} \mathrm{d}v
        && \color{red}{\text{, wegen Linearität des Integrals.}} \\
        &= \frac{4 \pi}{3} r^3 + 2\pi \int_{r^2-0^2}^{r^2-\rho^2} \sqrt{u} \mathrm{d}u
        && \color{red}{\text{, mit Substitution } u = r^2-v^2, \, \mathrm{d}u = (-2v)\mathrm{d}v.} \\
        &= \frac{4 \pi}{3} r^3 + 2\pi \int_{r^2}^{r^2-\rho^2} u^{\frac{1}{2}} \mathrm{d}u
        && \color{red}{\text{, gemäss den Potenzgesetzen.}} \\
        &= \frac{4 \pi}{3} r^3 + 2\pi \left[ \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right]_{u=r^2}^{u=r^2-\rho^2}
        && \color{red}{\text{, gemäss FTC I.}} \\
        &= \frac{4 \pi}{3} r^3 + 2\pi \left( \frac{2}{3}(r^2-\rho^2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}r^3 \right)
        && \color{red}{\text{, gemäss FTC II.}} \\
        &= \frac{4 \pi}{3} \left( r^3 + (r^2-\rho^2)^{\frac{3}{2}} - r^3 \right)
        && \color{red}{\text{, wegen des Distributivgesetzes.}} \\
        &= \frac{4\pi}{3}(r^2-\rho^2)^{\frac{3}{2}}.
    \end{alignat*}
\]
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Druckdatum: 2021-05-17 03:39