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Thema: Surjektivität zeigen
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Phoensie
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Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 430
Wohnort: Muri AG, Schweiz
Themenstart: 2021-02-25 10:54
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Ich möchte gerne zeigen, dass die Abbildung
\[
\varphi: [0;1) \to S^1
        \qquad,\qquad
        \varphi(t) = (\cos(2 \pi t),\sin(2 \pi t))
\] die das halboffene Einheitsintervall auf den Einheitskreis $S^1 \subset \R^2$ abbildet, surjektiv ist.

Ansatz.
- Falls $(x,y) \in S^1$ mit $y \geq 0$:
Dann ist $y = \sqrt{1-x^2}$ und mit $t:=\frac{1}{2\pi}\arccos(x) \in [0;1/2]$ gilt $\varphi(t)=(x,y)$.

- Falls $(x,y) \in S^1$ mit $y<0$:
Dann ist $y = -\sqrt{1-x^2}$. Gesucht ist $t \in (1/2;1)$ mit $\varphi(t)=(x,y)$.


Nun weiss ich nicht weiter. Mit $w:=\frac{1}{2\pi}\arcsin(x)$ erhält man $\varphi(w)=(|x|,y)$, was also für negative $x$ problematisch ist.

Habt ihr eine Idee? LG Phoensie
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6849
Wohnort: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-25 11:07
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Phoensie,

muss das denn so kompliziert zugehen? Es ist ja schon klar, wie der Bildraum aussieht: das ist der Einheitskreis im \(\IR^2\).

Es reicht doch eigentlich aus, wenn du zeigen kannst, dass jeder Punkt auf \(S^1\) Koordinaten der Form \((\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))\) besitzt. Und da hilft dir ein gewisser Pythagoras ja eigentlich schon weiter (der ja in deiner eigenen Überlegung auch drinsteckt). 🙂


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionen' von Diophant]
\(\endgroup\)

Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5587
Wohnort: Berlin
Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-25 12:11

Als Ergänzung noch: nutze einfach aus, dass $\{\cos(2\pi t) : t \in [0,1[\} = [-1,+1]$.




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Druckdatum: 2021-05-17 02:22