Forum:  Konvergenz
Thema: Funktionenfolge gleichmäßige Konvergenz
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lalala0000
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Themenstart: 2021-02-25 12:17

Ich soll die Frage beantworten, ob folgende Funktonenfolge gleichmäßig konvergent ist:
Ist die Folge der Funktionen fn : [0, 1] → R gegeben durch fn(x) = e^(-nX)
gleichmäßig konvergent?

Es müsste folgende Bedingung erfüllt sein: limn→∞ sup | fn(x) − f(x) |= 0, mir fehlt jetzt nur, wie ich f(x) bestimmen sollte... Das x müsste ja das Supremum im Intervall sein, oder?


Diophant
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-25 13:12
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

\(f(x)\) ist einfach nur der (punktweise) Grenzwert der Funktionenfolge \(f_n(x)\).

Kommst du damit weiter?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

lalala0000
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Dabei seit: 28.12.2020
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26 14:11

Achso, wäre dann im Bezug auf das Supremum f(x)=1 (da das Supremum bei X=0 uns somit e^0 angenommen wird)?
Aus der Gleichung limn→∞ sup | fn(x) − 1 |= 0 würde dann eine falsche Aussage folgen, oder verwechsle ich hier etwas?
Vielen lieben Dank schon einmal, das hat mich schon ein großes Stück weitergebracht!


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-26 14:16
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

du würfelst die Begriffe noch ein wenig durcheinander (Supremum und limsup bzw. Limes superior, wie es korrekt heißt, sind schon zwei paar Stiefel).

Aber vermutlich meinst du schon das richtige. Es ist hier

\[\limsup\left|f_n(x)-f(x)\right|=1\]
und zwar wird das Supremum an der Stelle \(x=0\) angenommen  (genau wie du sagst).

Meintest du es so?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

lalala0000
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26 15:19

Ja so war es eig gemeint, perfekt vielen Dank!




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Druckdatum: 2021-05-15 21:45