Forum:  Geometrie
Thema: Konstruktion einer Kurve auf einer geschlitzten Ebene im R^2
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Phoensie
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Themenstart: 2021-02-25 15:37
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Hallöchen miteinander

Ich versuche gerade mir eine bestimmte Kurve zu formulieren. Folgende Ausgangslage ist relevant: Man betrachte $X_1 := \R^2 \setminus \{(x,0) \in \R^2 \mid x \leq 0\}$, eine geschlitzte Ebene. Seien $a=(a_1,a_2)$ und $b=(b_1,b_2)$ Elemente von $X_1$ (also Punkte der geschl. Ebene).

Fragestellung.
Verbinde $a$ und $b$ mit einer stetigen Kurve, die in $X_1$ verläuft.

Mein Ansatz.
Informell kann man sich mit ein wenig Rumskizzieren schnell davon überzeugen, dass zwei Punkte in $X_1$ stets mit einem geschickt gewählten kreisähnlichen Bogen verbunden werden können. Ich möchte für den Formalismus dazu gerne über die Polarkoordinatendarstellung im $\R^2$ vorgehen. Bekanntlich ist für $x \in \R^2$
\[
\|x\| := \|x\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}
\] und der Winkel $\arg(x)$ lässt sich beispielsweise im ersten Quadranten mit $\arg(x)=\arctan(x_2/x_1)$ berechnen. Meine Kurve soll $\gamma$ heissen:
\[
\gamma: [0;1] \to X_1, \, t \mapsto \gamma(t),
\] stetig sein und $\gamma(0)=(a_1,a_2)$ sowie $\gamma(1)=(b_1,b_2)$ erfüllen. $\gamma$ soll eine kreisähnliche Bahn haben und den Betrag linear skalieren. Dazu führe eine "Betragsskalierung" $r:[0;1] \to \R_+$ mit
\[
t \mapsto r(t) := \|a\| + t(\|b\|-\|a\|)
\] ein. Ich hoffe meine Grundidee kristallisiert sich inzwischen raus. Nun definiere ich
\[
\gamma(t) := \big( r(t) \cos(\alpha(t)), r(t)\sin(\beta(t)) \big)
\] und muss nun nur noch meine "Winkelskalierer" $\alpha,\beta:[0;1] \to \R$ bestimmen, die mir den Winkel beschreiben. $\alpha$ und $\beta$ müssen vermutlich mit Fallunterscheidung $\arg(a)$ grösser/kleiner $\arg(b)$ arbeiten, um die Information der Richtung (Uhrzeiger-/Gegenuhrzeigersinn) zu "verpacken".

Habt ihr Anregungen? Würde mich freuen.😄

Gruss Phoensie
\(\endgroup\)

sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 437
Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-25 16:59

Hallo Phoensie,

zunächst einmal wäre es wohl einfacher gewesen, beide Punkte jeweils durch eine Gerade mit \((1,0)\) zu verbinden.

Ohne lange darüber nachgedacht zu haben, aber was spricht gegen \(\alpha(t)=\beta(t)=\arg(a)+t(\arg(b)-\arg(a))\)? Also wie Du es bei \(r\) ja auch schon gemacht hast. Solange Du \(\arg(a),\arg(b)\in(-\pi,\pi)\) wählst, sollte das kein Problem sein, da Du durch Konvexkombinationen dieses Intervall nicht verlässt. Die Richtung ergibt sich automatisch, Du läufst eben von \(a\) nach \(b\).


Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-25 19:17
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2021-02-25 16:59 - sonnenschein96 in Beitrag No. 1 schreibt:
Was spricht gegen \(\alpha(t)=\beta(t)=\arg(a)+t(\arg(b)-\arg(a))\)?
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Nichts, ich hab einfach gedacht das wäre zu einfach (im Sinne: Löst du eine Aufgabe und funktioniert es beim ersten Ansatz, ist die Chance da, dass irgendwas faul ist 😁). Das klappt aber auf jeden Fall, danke für den Hinweis!


2021-02-25 16:59 - sonnenschein96 in Beitrag No. 1 schreibt:
Es wäre wohl einfacher gewesen, beide Punkte jeweils durch eine Gerade mit \((1,0)\) zu verbinden.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)

Wäre tatsächlich einfacher, aber ich finde die "kurvige" Lösung "geschmeidiger"/schöner.😄 Solche "Finde die Funktion, die ..."-Probleme mag ich ganz gerne.🤗

Gruss Phoensie
\(\endgroup\)



Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
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Druckdatum: 2021-05-17 02:43