Forum:  Matrizenrechnung
Thema: Bild(A)=Bild(A transponiert)
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ghxk
Junior
Dabei seit: 26.02.2021
Mitteilungen: 13
Themenstart: 2021-02-26 11:20

Hallo zusammen

Wie kann ich die Gleichheit von einer (nxn) Matrix über den reellen Zahlen von

Bild(A)=Bild(AT)

beweisen?

AT = (A transponiert)


Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46379
Wohnort: Dresden
Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-26 11:31

Hi ghxk,
gar nicht.
Gruß Buri


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6873
Wohnort: Milchstraße
Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-26 12:10

2021-02-26 11:20 - ghxk im Themenstart schreibt:
Wie kann ich die Gleichheit von einer (nxn) Matrix über den reellen Zahlen von

Bild(A)=Bild(AT)

beweisen?

Hallo ghxk,

willkommen auf dem Matheplaneten.

Was meinst du mit "Gleichheit einer \(n\times n\)-Matrix"? Gleichheit mit was?


ghxk
Junior
Dabei seit: 26.02.2021
Mitteilungen: 13
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26 12:44

Es sei A eine nxn Matrix mit reellen Einträgen. Zu zeigen wäre, dass :

Bild(A) = Bild(A*A$^{T})


wobei "A$^{T}" die Matrix A transponiert bedeuten sollte.



StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6873
Wohnort: Milchstraße
Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-26 12:51

2021-02-26 12:44 - ghxk in Beitrag No. 3 schreibt:
Es sei A eine nxn Matrix mit reellen Einträgen. Zu zeigen wäre, dass :

$Bild(A) = Bild(A*A^{T})$

wobei "$A^{T}$" die Matrix A transponiert bedeuten sollte.

Wie kommst du darauf, dass das gilt?


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2136
Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-26 13:49

2021-02-26 12:44 - ghxk in Beitrag No. 3 schreibt:
Bild(A) = Bild(A*A$^{T}$)

Das ist etwas anderes als die (falsche) Aussage $\operatorname{Bild}(A)=\operatorname{Bild}(A^{\rm T})$, die im Startbeitrag und in der Überschrift dieses Threads steht.

Um $\operatorname{Bild}(A)=\operatorname{Bild}(AA^{\rm T})$ zu zeigen, solltest du dich an den Zusammenhang zwischen $\operatorname{Bild}(A^{\rm T})$ und dem Kern von $A$ erinnern.

--zippy


ghxk
Junior
Dabei seit: 26.02.2021
Mitteilungen: 13
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26 17:28

Hallo zippy

Ja, die stehen ja senkrecht aufeinander, womit das Skalarprodukt der Vektoren aus dem Kern mit den Vektoren aus dem Bild von A transponiert 0 ist.

Wie hilft mir das aber beim gefragten Beweis?


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2751
Beitrag No.7, eingetragen 2021-02-26 17:35
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,

die Inklusion $\supseteq$ ist leicht zu zeigen. Es genügt daher (mit zippys Tipp) zu zeigen, dass beide Bilder die gleiche Dimension haben.
\(\endgroup\)

ghxk
Junior
Dabei seit: 26.02.2021
Mitteilungen: 13
Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-01 09:38

Hallo zusammen.


Leider bin ich noch nicht auf die Lösung gekommen, selbst mit euren Tipps. Könnte diese jemand noch etwas ausführen?


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2136
Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-01 09:42

Allgemein ist das Bild einer direkten Summe $\operatorname{Kern}(A)\oplus U$ unter $A$ das Bild von $U$ allein. Jetzt betrachte $\operatorname{Kern}(A)\oplus\operatorname{Kern}(A)^\perp$ und verwende $\operatorname{Kern}(A)^\perp=\operatorname{Bild}(A^{\rm T})$.




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Druckdatum: 2021-05-18 02:49