Forum:  Geometrie
Thema: Koordinaten eines Rechteckes innerhalb eines Koordinatensystems bestimmen
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roccckkky
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Dabei seit: 26.02.2021
Mitteilungen: 4
Themenstart: 2021-02-26 12:24

Hallo zusammen

Ich habe innerhalb eines Koordinatensystems ein Viereck. Das Viereck entspricht einem Bild mit 1000x400 Pixel. Im Anhang seht ihr ein entsprechenden Auszug. Die Gerade D bis A entspricht 1000 Pixel. Die Gerade D bis C entspricht 400 Pixel.

Nun erhalte ich eine Koordinatenangabe innerhalb des Bildes mit 1000x400 Pixel. Beispiel: Pixel 200 (Gerade D-A) & Pixel 250 (Gerade D-C). Im Anhang als Punkt E gekennzeichnet.

Die Aufgabe ist es nun mit Hilfe der Pixelangabe die x & y Koordinaten diese Punktes im Koordinatensystem zu bestimmen.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand diesbezüglich Hilfe leisten kann.

Vielen Dank im Voraus!

Bild:


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-26 12:30

Hallo und willkommen hier im Forum!

Das wird man mit Matrizenrechnung angehen müssen. Stichwort: Koordinatentransformation.

Als erstes solltest du einmal festlegen, wo in dem Bild-System der Ursprung sein soll.

Und dann musst du

- eine Skalierung
- eine Translation
- und eine Drehung

durchführen.

Die eigentlich gesuchte Transformationsmatrix erhältst du dann durch Multiplikation der einzelnen Schritte (in einer geeigneten Reihenfolge).


Gruß, Diophant


viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27783
Wohnort: Hessen
Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-26 12:32

Hi roccckkky

Willkommen auf dem Planeten

Welche Informationen sind denn von dem Rechteck gegeben? Alleine mit dessen Seitenlängen kommt man nicht weiter.

Gruß vom ¼

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


roccckkky
Neu
Dabei seit: 26.02.2021
Mitteilungen: 4
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26 12:46

Hallo zusammen

Vielen Dank für die prompten Antworten!

Folgende Informationen sind gegeben:
Ursprungspunkt im Bild = Punkt D (Pixel 0, 0)

Koordinaten der einzelnen Punkte im Koordinatensystem:
A: x168, y116
B: x345, y50
C: x229, y-264
D: x48.5, y-200.5

Geraden:
D <-> A : 1600 Pixel
D <-> C : 1200 Pixel

Kann ich damit etwas anfangen oder braucht es mehr?

Danke euch und viele Grüße.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6855
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Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-26 12:50

Hallo,

damit kann man schon etwas anfangen.

Wie sieht es denn mit deinen Vorkenntnissen in Sachen Lineare Algebra aus? Konntest du mit meinem Hinweis bpw. etwas anfangen oder sagt dir das gar nichts: eine Koordinatentransformation als Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor darzustellen?


Gruß, Diophant


roccckkky
Neu
Dabei seit: 26.02.2021
Mitteilungen: 4
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26 12:58

Hi

Okay, klasse.

Ich habe leider keine Vorkenntnisse :( Die von dir beschriebenen Schritte (Skalierung, Translation, Drehung) kann ich insofern nachvollziehen, dass sie Sinn für mich ergeben. Wie man sie allerdings umsetzt, weiß ich leider nicht.

Könntest du mir diesbezüglich den ein oder anderen Tipp geben? :)

Danke und Gruss


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6855
Wohnort: Rosenfeld, BW
Beitrag No.6, eingetragen 2021-02-26 13:33
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

es ist grundsätzlich so: hier auf dem Matheplanet werden i.d.R. keine fertigen Lösungen gegeben. Wir können aber versuchen, das gemeinsam zu erarbeiten. Du solltest da aber das eine oder andere Konzept aus der Linearen Algebra recherchieren bzw. dir klarmachen (schon allein, um das nachher auch umsetzen zu können).

Also. Eine solche Koordinatentransformation lässt sich grundsätzlich mit einem linearen Gleichungssystem der Form

\[\begin{matrix}x'&=&a_1x&+&b_1y&+&c_1\\y'&=&a_2x&+&b_2y&+&c_2\end{matrix}\]
darstellen. Dabei ist \((x,y)\) die 'alte' und \((x',y')\) die 'neue' Darstellung eines Punktes des \(\IR^2\).

Mit Hilfe der Matrizen-Multiplikation lässt sich dies abgekürzt schreiben als

\[\bpm x'\\y'\epm=\bpm a_1&b_1\\a_2&b_2\epm\cdot\bpm x\\y\epm+\bpm c_1\\c_2\epm\]
Nun gibt es da für die drei einzelnen (und notwendigen) Schritte durchaus fertige Ansätze, auf die man aufbauen kann.

Du könntest also einmal damit beginnen, dein Rechteck so zu drehen, dass es achsenparallel zum Koordinatensystem liegt.

Rechne also mal aus, um welchen Winkel du dazu drehen musst und recherchiere selbst, ob du einen Typ von Matrix findest, der eine solche Drehung beschreibt (Stichwort: Drehmatrix).

Nach der Drehung kommt die Skalierung: um welchen Faktor muss man nach der Drehung in x- bzw. in y-Richtung skalieren?

Recherchiere auch hier wieder, wie man das durch eine Matrix darstellen könnte.

Dann können wir besprechen, wie man mit diesen beiden Matrizen weitermachen kann.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6855
Wohnort: Rosenfeld, BW
Beitrag No.7, eingetragen 2021-02-26 13:48
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Es gibt allerdings auch noch eine Alternative, die elementarer ist, aber dafür mit etwas mehr Aufwand verbunden.

Das erwähnte Gleichungssystem

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-02-26 13:33 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
\[\begin{matrix}x'&=&a_1x&+&b_1y&+&c_1\\y'&=&a_2x&+&b_2y&+&c_2\end{matrix}\]
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

enthält sechs unbekannte Parameter \(a_i,b_i,c_i,\ i\in\lbrace 1,2\rbrace\). Jeder Punkt, für den du die Koordinaten in beiden Systemen kennst, liefert dir zwei Bestimmungsgleichungen für diese Parameter. Wenn du also von den vier Punkten, die du hast, drei in dieses LGS einsetzt, erhältst du schlussendlich ein 6x6-LGS, mit dem du diese Parameter direkt ohne Matrizenrechnung bestimmen kannst.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

roccckkky
Neu
Dabei seit: 26.02.2021
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26 14:15

Hallo Diophant

Vielen Dank!

Ich stürze mich mal ins Vergnügen und gebe Bescheid.

Gruß


viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
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Beitrag No.9, eingetragen 2021-02-26 17:57
\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2021-02-26 12:46 - roccckkky in Beitrag No. 3 schreibt:
Folgende Informationen sind gegeben:
Ursprungspunkt im Bild = Punkt D (Pixel 0, 0)

Koordinaten der einzelnen Punkte im Koordinatensystem:
A: x168, y116
B: x345, y50
C: x229, y-264
D: x48.5, y-200.5

Geraden:
D <-> A : 1600 Pixel
D <-> C : 1200 Pixel
\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Es fängt leider schon damit an, daß die 4 Punkte kein Rechteck ergeben.
Wenn ich mal $A$, $B$ und $C$ als exakte Koordinaten nehme (wegen Ganzzahligkeit), dann müßte gelten $D=A+(C-B)=(52, -198)$ (nah dran, aber doch nicht gleich). Natürlich kann man auch jede andere Kombination aus 3 Punkten nehmen und den vierten berechnen.

Dann stimmen die Winkel in den Ecken nicht. Bei einem Rechteck sollten das natürlich jeweils $90^\circ$ sein, aber stattdessen sind die Eckwinkel bei $A$…$D$ in dieser Reihenfolge:
$\angle_A=90.235^\circ$
$\angle_B=90.174^\circ$
$\angle_C=90.894^\circ$
$\angle_D=88.697^\circ$

Woher also stammen deine Angaben und wie genau soll das Ganze zum Schluß sein ?

Denn wenn das ungenaue Meßwerte sind, dann muß vielleicht noch eine Ausgleichsrechnung dazu kommen. Und das wird häßlicher🙁
\(\endgroup\)

viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
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Beitrag No.10, eingetragen 2021-03-05 19:48

2021-02-26 14:15 - roccckkky in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich stürze mich mal ins Vergnügen und gebe Bescheid.
Anscheinend isser abgestürzt🙁




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Druckdatum: 2021-05-18 04:05