Forum:  Algebraische Geometrie
Thema: Kohärente Garbe auf quasi-projektivem Schema
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Saki17
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Themenstart: 2021-02-28 00:15
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}}\)
Hallo,

im Folgenden verwende ich die Terminologien wie im Hartshornes AG-Buch.

Sei $X$ ein quasi-projektives Schema über $\spec A$ mit $A$ noethersch, d.h. es gebe eine lokal-abgeschlossene $A$-Immersion $i: X\hookrightarrow \mathbb{P}^r_A$ für gewisses $r\in \IN$. Ferner sei $F$ eine kohärente Garbe auf $X$.

Frage. Ist es immer noch korrekt, dass $F$ ein Quotient gewisser lokal-freien Garbe ist?

Background. Wir wissen wenn die obige Immersion $i$ abgeschlossen ist, also $X$ projektiv über $A$, dann ist das der Fall. Genauer finden wir $n, N\in \IN$, sodass ein Epimorphismus $\bigoplus_1^N \O(-n)\to F$ existiert, s. [Hartshorne, II.5.18]. Allerdings sehe ich nicht, dass dasselbe sofort auf quasi-projektiven verallgemeinert werden kann, denn der Pushoforward $i_*F$ muss nicht kohärent sein (vgl. Beweis zu [Hartshorne, II.5.17]).

Aber vielleicht übersehe ich was triviales...
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Kezer
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-28 07:48
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Hi Saki,

ich glaube ja, und zwar so:

Benutze, dass man kohärent Garben fortsetzen kann (siehe z.B. Hartshorne Aufgabe II.5.15): Sei $Y$ ein Noethersches Schema, $j: U \hookrightarrow Y$ ein offenes Unterschema, $\mathcal{F} \in \mathbf{Coh}(U), \mathcal{G} \in \mathbf{QCoh}(Y)$, sodass $\mathcal{F} \hookrightarrow \mathcal{G}|_U$. Dann existiert eine kohärente Untergarbe $\mathcal{F'} \hookrightarrow \mathcal{G}$, sodass $\mathcal{F}'|_U = \mathcal{F}$.

Wenn also $i = j_1 \circ j_2$ mit $j_1$ abgeschlossene und $j_2$ offene Einbettung ist, dann existiert eine kohärente Garbe $\mathcal{G} \hookrightarrow (j_2)_*F$ mit $\mathcal{G}|_X = (j_2)_* F|_X = F|_X$. Als kohärente Garbe eines projektiven Schemas ist $\mathcal{G}$ nun ein Quotient lokal freier Garben und damit insbesondere $\mathcal{G}|_X = F|_X$.

(Übrigens, sicher weißt du das ohnehin, aber die Definition von lokal-abgeschlossene Einbettung und (quasi-)projektive Schemata in Hartshorne sind nicht dieselben wie in EGA. So sind Kompositionen lokal-abgeschlossener Einbettungen nicht mal wieder lokal-abgeschlossen im Allgemeinen nach Hartshornes Definition. Zu diesem Thema ist Kapitel 8.1.2 in Vakils Buch lesenswert.)

Edit: Hmm, ich glaube mein Argument funktioniert nur, wenn noch eine zusätzliche Endlichkeitsbedingung gilt, z.B. $X$ Noethersch oder $j_2$ qcqs, da sonst $(j_2)_*F$ nicht quasikohärent sein muss.
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Saki17
Aktiv
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-28 10:10
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}}\)
Morgen,

danke, das sieht gut aus.

Ich denke das $j_2$ ist qcqs. qs ist klar (jeder Mono ist separiert). Für qc würde ich so argumentieren: Die Komposition $j_1\circ j_2$ ist qc ([SP, 01OX] zweimal anwenden). Ferner ist $j_1$ separiert, also ist $j_2$ qc nach der üblichen Kürzungsregel.

Noch ein Wort zur Endlichkeit. Eine qc Immersion i.S.v. EGA, also erst abg. dann offen, lässt sich wie oben zerlegen, also erst offen dann abg.([SP, 01QV]). Nach Vakils Exercise 8.1.M. gilt auch die Umkehrung (ohne notwendigerweise qc zu sein).  
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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-28 10:42

Wunderbar. 👍


Saki17
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-28 21:50
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}}\)
Ich habe gerade eine Übungsaufgabe von Hartshorne (III.6.8) gelesen. Neben Quasi-Projektivität besteht eine andere Möglichkeit, kohärente Garbe als Quotient lokal-freieren darzustellen:

"Satz von Kleiman". Sei $X$ ein noethersches, integrales, separiertes und lokal-faktorielles Schema. Dann ist jede kohärente Garbe auf $X$ ein Quotient lokal-freier Garbe vom endlichen Rang.

Btw., ein quasi-projektives Schema $X$ (in Hartshornes Sinne) über einem noetherschen Ring ist noethersch. Insbesondere ist jeder Morphismus aus $X$ qc.
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
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Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-01 07:21

Interessant ist auch MSE/849958. So sei es laut Martin vermutlich ein offenes Problem, ob die Aussage für Varietäten gilt.




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Druckdatum: 2021-05-15 23:08