Forum:  Atom-, Kern-, Quantenphysik
Thema: Übersetzen eines Beweises in Dirac-Notation
Themen-Übersicht
Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 430
Wohnort: Muri AG, Schweiz
Themenstart: 2021-02-28 16:39
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Ich konnte die Aufgabe "Die Eigenwerte eines hermiteschen Operators sind reell" beweisen, jedoch soll ich dies in Dirac-Notation aufschreiben (also für Vektoren nicht $v \in V$ verwenden, sondern $|\phi\rangle \in V$; und mit hermiteschem Standardskalarprodukt $\langle\phi|\psi\rangle := \sum_{k} \overline{\phi_k} \psi_k$.

Hier mein Beweis:
Sei $0 \neq v \in V$ ein Eigenvektor der hermiteschen Matrix $A$ mit Eigenwert $\lambda \in \C$ in einem unitären Vektorraum $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$. Dann gilt:
\[    \begin{align*}
        \lambda \|v\|^2
        &= \lambda \langle v,v \rangle \\
        &= \langle \lambda v,v \rangle \\
        &= \langle A v,v \rangle \\
        &= \langle v, A v \rangle \\
        &= \langle v, \lambda v \rangle \\
        &= \overline{\lambda} \langle v, v \rangle \\
        &= \overline{\lambda} \|v\|^2
    \end{align*}
\] Da $v \neq 0$ ist, folgt hieraus $\lambda = \overline{\lambda}$ und somit $\lambda \in \R$.

Wie schreibt man das auf, sodass Brackets etc. Sinn ergeben (ich verstehe zugegeben nicht wirklich, warum man sich mit Kets etc. abmühen muss, wenn es doch auch schlichter geht)

LG Phoensie
\(\endgroup\)

zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2128
Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-28 16:51

Der einzige nicht offensichtliche Punkt bei dieser Übersetzung ist die Charakterisierung des adjungierten Operators in der Bra-Ket-Notation:$$ \langle u|A^*|v\rangle = \overline{\langle v|A|u\rangle}
$$Damit lautet der Beweis dann$$ \lambda\,\langle v|v\rangle =
\langle v|A|v\rangle =
\overline{\langle v|A|v\rangle} =
\overline{\lambda\,\langle v|v\rangle} =
\bar\lambda\,\langle v|v\rangle$$--zippy


Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 430
Wohnort: Muri AG, Schweiz
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-28 17:22
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
2021-02-28 16:51 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
$$ \langle u|A^*|v\rangle = \overline{\langle v|A|u\rangle}
$$
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)

Folgefrage: Auf welches Argument des Ausdrucks bezieht sich jeweils ein Operator inmitten eines Brackets? Also $\langle u| A | v \rangle = \langle u| \cdot A | v \rangle$ ???

Analog zum Standardskalarprodukt: $\langle v,Aw \rangle$ bedeutet $A$ angewandt auf $w$ und dann im inneren Produkt evaluiert, und $\langle Av,w \rangle \neq \langle v,Aw \rangle$ im allgemeinen.
\(\endgroup\)

zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2128
Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-28 17:48

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)2021-02-28 17:22 - Phoensie in Beitrag No. 2 schreibt:
Auf welches Argument des Ausdrucks bezieht sich jeweils ein Operator inmitten eines Brackets?
\(\endgroup\)

Die Schreibweise ist so gewäht, dass das keine Rolle spielt.

Ein Ket $|v\rangle$ entpricht in der "normalen" Schreibweise einem Vektor $v$. $A|v\rangle$ ist die Anwendung des Operators $A$ auf diesen Vektor und entspricht somit $Av$.

Ein Bra $\langle u|$ entspricht der Linearform $v\mapsto\langle u,v\rangle$. $\langle u|A$ ist die Anwendung des zu $A$ transponierten Operators auf diese Linearform, also entspricht $\langle u|A$ der Linearform $v\mapsto\langle u,Av\rangle$.

[Zur Erinnerung: Für eine Abbildung $A\colon V\to W$ ist die transponierte Abbildung eine Abbildung $W'\to V'$ zwischen den Dualräumen, die eine Linearform $\alpha\in W'$ auf die Linearform $v\mapsto\alpha(Av)$ aus $V'$ abbildet.]

Aus diesen beiden Punkten ergibt sich$$ \Bigl(\langle u|A\Bigr)|v\rangle =
\langle u|\Bigl(A|v\rangle\Bigr) \;,$$und man sieht, wie suggestiv diese Schreibweise gewählt ist.


Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 430
Wohnort: Muri AG, Schweiz
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-28 19:36

Ok, danke dir, zippy. Das hat mir sehr geholfen!😄




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=252611=807
Druckdatum: 2021-05-15 23:03