Forum:  Lineare Abbildungen
Thema: Projektion
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Phoensie
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Themenstart: 2021-02-28 22:08
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Hallo Leute

Ich stecke bei folgender Aufgabe fest:

Seien $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle_V)$ und $(W,\langle\cdot,\cdot\rangle_W)$ zwei endlichdimensionale euklidische Vektorräume mit $\dim(V) \leq \dim(W)$ und sei $A: V \to W$ ein linearer Operator. Unter Annahme maximalen Ranges von $A$ definiert man $P_A:= A(A^*A)^{-1}A^T$. Zeige, dass $P_A$ eine Projektion ist, also dass gilt:
\[
    \begin{align*}
        P_A^2 = P_A,\;P_A^*=P_A,\;P_AW = AV.
    \end{align*}
\]
Ich habe Folgendes versucht:
\[
\begin{align*}
            P_A^2
            &= A(A^*A)^{-1}A^TA(A^*A)^{-1}A^T \\
            &= AA^{-1}(A^*)^{-1}A^TAA^{-1}(A^*)^{-1}A^T \\
            &= E(A^*)^{-1}A^TE(A^*)^{-1}A^T \\
            &= (A^*)^{-1}A^T(A^*)^{-1}A^T \\
            &= \\
            &= \\
            &= \\
            &= \\
            &= (A^*)^{-1}A^T \\
            &= E(A^*)^{-1}A^T \\
            &= AA^{-1}(A^*)^{-1}A^T \\
            &= A(A^*A)^{-1}A^T \\
            &= P_A.
        \end{align*}
\] aber hier fehlt mir der Mittelteil...

LG Phoensie

PS: Es ist noch zu erwähnen, dass $A^*:W \to V$ eindeutig bestimmt ist durch die Beziehung $\forall (v,w) \in V \times W: \langle Av,w\rangle_W = \langle v,A^*w\rangle_V$ (habe ich beweisen können).
\(\endgroup\)

zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-28 22:16

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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)2021-02-28 22:08 - Phoensie im Themenstart schreibt:
$P_A:= A(A^*A)^{-1}A^T$. Zeige, dass $P_A$ eine Projektion ist
\(\endgroup\)

Ist nicht $V=W=\mathbb C$, $A=(i)$ ein Gegenbeispiel?

Wenn es dagegen nur um reelle Innenprodukträume geht: Was ist dann der Unterschied zwischen $A^*$ und $A^T$?

Zu deiner Rechnung: Beachte, dass zwar $A^*A$ eine quadratische Matrix ist und daher invertierbar sein kann, dass das aber auf ihre beiden Faktoren $A^*$ und $A$ nicht zutreffen muss.

Nehmen wir mal an, dass eigentlich $P_A=A(A^*A)^{-1}A^*$ gemeint ist. Dann ist $P_A^2=A(A^*A)^{-1}(A^*A)(A^*A)^{-1}A^*=P_A$ offensichtlich.

--zippy


Phoensie
Aktiv
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-28 22:26
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2021-02-28 22:16 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
Ist nicht $V=W=\mathbb C$, $A=(i)$ ein Gegenbeispiel?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)

Es wird von euklidischen (d.h. mit pos. def. Skalarprodukt versehenen reellen) Vektorräumen gesprochen. Dein Gegenbeispiel wird also nicht zutreffen.
\(\endgroup\)

zippy
Senior
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-28 22:28

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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)2021-02-28 22:26 - Phoensie in Beitrag No. 2 schreibt:
Dein Gegenbeispiel wird also nicht zutreffen.
\(\endgroup\)

Ich sagte ja auch: Entweder trifft das Gegenbeispiel zu oder es gibt keinen Unterschied zwischen $A^*$ und $A^T$. In beiden Fällen ist in der Definition von $P_A$ etwas faul.


Phoensie
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-28 22:53
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Lieber zippy

2021-02-28 22:28 - zippy in Beitrag No. 3 schreibt:
Entweder trifft das Gegenbeispiel zu oder es gibt keinen Unterschied zwischen $A^*$ und $A^T$. In beiden Fällen ist in der Definition von $P_A$ etwas faul.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)

Da könntest du durchaus Recht haben. Es wäre nämlich nicht der erste Fehler auf dem Aufgabenblatt... Ich frage da morgen noch mal an der Uni nach.

2021-02-28 22:16 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
Nehmen wir mal an, dass eigentlich $P_A=A(A^*A)^{-1}A^*$ gemeint ist. Dann ist $P_A^2=A(A^*A)^{-1}(A^*A)(A^*A)^{-1}A^*=P_A$ offensichtlich.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)

Ich habs jetzt mal so durchgerechnet und $P_A^2=P_A$ sowie $P_A^*=P_A$ zeigen können.

Könnte der dritte Punkt wohl als Mengengleichheit
\[
\{P_A w \mid w \in W\} = \{Av \mid v \in V\}
\] interpretiert werden? (ich werd' nicht ganz schlau aus der gegebenen Schreibweise der Aufgabe)
\(\endgroup\)

zippy
Senior
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Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-01 00:41

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)2021-02-28 22:53 - Phoensie in Beitrag No. 4 schreibt:
Könnte der dritte Punkt wohl als Mengengleichheit
\[
\{P_A w \mid w \in W\} = \{Av \mid v \in V\}
\] interpretiert werden?
\(\endgroup\)

Ja, allgemeine ist $AM$ für eine Abbildung $A$ und eine Menge $M$ als $\{Av:v\in M\}$ zu verstehen.




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Druckdatum: 2021-05-09 10:12