Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Kombinatorikproblem Passwort
Themen-Übersicht
asdf14
Junior
Dabei seit: 28.04.2019
Mitteilungen: 8
Themenstart: 2021-03-01 14:07

Hallo,

ich glaube ich stehe gerade komplett auf der Leitung und würde mich freuen, wenn wer helfen könnte.

Es geht um folgendes Beispiel:

Aus den 26 Buchstaben des Alphabets soll ein 8-stelliges Passwort gebildet werden. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass
- genau zwei Mal der Buchstabe Z vorkommmt
- mindestens einmal der Buchstabe Z vorkommt.

Die Anzahl der möglichen Fälle sind mir dabei klar, das wären ja einfach 26^8, da ja die Reihenfolge relevant ist und auch Mehrfachauswahl möglich ist. Nur wie komme ich jetzt auf die Anzahl der günstigen Fälle, also dass genau zwei Mal das Z vorkommt. "Zwei Mal Z" ist ja nicht das gleiche wie "Zwei Mal der gleiche Buchstabe" oder?

Ich hoffe mir kann dabei wer helfen.

Danke und Liebe Grüße,
Manuel


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6847
Wohnort: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-01 14:13

Hallo,

wenn jeder Buchstaben beliebig oft auftreten darf, dann ist es einfach nur eine Binomialverteilung, um die es hier geht.

Hilft dir das schon weiter?


Gruß, Diophant


asdf14
Junior
Dabei seit: 28.04.2019
Mitteilungen: 8
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-01 14:20

Hallo Diophant,

danke für die schnelle Antwort.

Also beispielsweise für a) einfach fed-Code einblenden


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6847
Wohnort: Rosenfeld, BW
Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-01 14:23

Hallo,

2021-03-01 14:20 - asdf14 in Beitrag No. 2 schreibt:
Also beispielsweise für a) einfach fed-Code einblenden

es muss ja nicht immer alles kompliziert sein. Allerdings stimmt dein Binomialkoeffizient hier noch nicht.


Gruß, Diophant


asdf14
Junior
Dabei seit: 28.04.2019
Mitteilungen: 8
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-01 14:28

Ach stimmt, deswegen funktionierts nicht. Vielen Dank!


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2002
Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-01 14:30

Huhu Manuel,

2021-03-01 14:23 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Allerdings stimmt dein Binomialkoeffizient hier noch nicht.

das hätte dir auffallen müssen, da dein Term ungefähr den Wert 1826,46 hat - das ist eine ziemlich große Wahrscheinlichkeit...

Nur noch mal um dein Ansatz zu Ende zu bekommen:

(1) Auf wie viele Arten kannst du deine beiden "Z" auf die 8 freien Plätze verteilen?
(2) Wie viele Möglichkeiten hast du jeweils danach die 6 freien Plätze mit einem Buchstaben zu belegen?

Gruß,

Küstenkind

PS: Bei b) hilft natürlich das Gegenereignis.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


asdf14
Junior
Dabei seit: 28.04.2019
Mitteilungen: 8
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-01 14:37

Hallo Kuestenkind,

auch dir danke für die Hilfe. Ist mir aufgefallen ja, dachte nur, dass ich den falschen Ansatz verfolge und nicht, dass ich die Binomialverteilung einfach falsch modelliert habe.
Hab glaub ich schon mitbekommen, was mein Denkfehler war. Der Binomialkoeffizient müsste hierbei 8 über 2 sein. Dann komme ich für a) auf ~3,27% und für b) auf ~26,93%. Ich hoffe das stimmt jetzt so. :)

Danke und LG Manuel


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6847
Wohnort: Rosenfeld, BW
Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-01 14:49
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo nochmal,

2021-03-01 14:37 - asdf14 in Beitrag No. 6 schreibt:
auch dir danke für die Hilfe. Ist mir aufgefallen ja, dachte nur, dass ich den falschen Ansatz verfolge...
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Die Anzahl der möglichen Fälle war schon richtig, und die taucht ja dann in der Binomialverteilungsversion konsequenterweise auch auf:

\[P={8 \choose 2}\cdot\left(\frac{1}{26}\right)^2\cdot\left(\frac{25}{26}\right)^6=\frac{{8 \choose 2}\cdot 1^2\cdot 25^6}{26^8}\]
Im Zähler hat du jetzt die kombinatorische Berechnung der Anzahl der günstigen Fälle.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)



Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=252623=100
Druckdatum: 2021-05-16 20:51