Forum:  Mehrdim. Differentialrechnung
Thema: Stetige Differenzierbarkeit von Bilinearformen
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GaussGauss
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Themenstart: 2021-03-02 13:41

Hi !

Ich soll zeigen, dass eine bilineare Abbildung $a: A\times B \to C$ mit endlich. dim. normierten VR $A,B,C$ stetig differenzierbar ist und dass das Differential gegeben ist durch: $Da(x,y)(a_1,h_2) = a(x,h_2) + a(h_1,y)$ für alle $(x,y),(h_1,h_2)\in A\times B$. Dafür habe ich in die Definition eingesetzt und wollte zeigen, dass das angegebene Differential tatsächlich die Ableitung ist. Durch einfaches Nachrechnen komme ich auf
$\frac{a(x+h_1,y+h_2)-(a(x,y)+a(x,h_2)+a(h_1,y))}{\|h\|}=...=\frac{a(h_1,h_2)}{\|h\|}$ wobei nach GÜ $\|h\| \to 0$ der Ausdruck gegen 0 konvergieren soll. Soweit nach der Def. aus der Vorlesung. Jedoch frage ich mich hier nun, wie ich weiter vorgehen soll (hatte an Stetigkeit und somit Beschränktheit von $a$ gedacht) bzw. was überhaupt $\|h\|$ sein soll, denn $h=(h_1,h_2)\in A\times B$ also ist dieser Normausdruck irgendwie ja gar nicht definiert oder ? Bzw. welche Norm ist hier denn nun gemeint ? 🙂

Freue mich über Antworten
Gruß!

Edit: man bräucht wohl dann die Norm am kartesischen Produkt $A\times B$ soweit ich das sehe um $\|(h_1,h_2)\|$ definieren zu können.


StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-06 09:23

Hallo GaussGauss,
dafür ist bestimmt die Voraussetzung endlichdimensional gedacht, denn da sind alle Normen äquivalent, so dass du dir selbst irgendeine Norm definieren kannst.

Viele Grüße,
  Stefan




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Druckdatum: 2021-05-17 01:52