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Thema: Warum sind die Tschebyschev-Polynome eigentlich Polynome?
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Radix
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Dabei seit: 20.10.2003
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Themenstart: 2021-03-02 17:38

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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2746
Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-02 17:59
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,

man kann $\cos(ny)$ als ein Polynom in $\cos(y)$ und $\sin(y)$ schreiben (z.B. durch wiederholte Anwendung von Additionstheoremen).

Aufgrund der Symmetrie $\cos(ny) = \cos(-ny)$ kann man dieses Polynom so wählen, dass nur gerade Potenzen von $\sin(y)$ auftreten.
Wegen $\sin^2(y) = 1-\cos^2(y)$ folgt, dass $\cos(ny)$ sogar ein Polynom in $\cos(y)$ ist.

Für $y=\arccos(x), x\in[-1,1]$ folgt wegen $\cos(\arccos (x))= x$, dass $T_n(x)$ ein Polynom in $x$ ist.
\(\endgroup\)

Radix
Senior
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6259
Wohnort: Wien
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-02 18:10

Meine eigenen Überlegungen waren recht ähnlich. Der entscheidende Mosaikstein, der mir fehlt, ist aber:

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-03-02 17:59 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:
Aufgrund der Symmetrie $\cos(ny) = \cos(-ny)$ kann man dieses Polynom so wählen, dass nur gerade Potenzen von $\sin(y)$ auftreten.
\(\endgroup\)

Kannst du das näher erläutern?

Danke
Radix


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2746
Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-02 18:15
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hilft dir die Gleichung $\cos (ny) = \frac 12(\cos(ny)+\cos(-ny))$ weiter?
\(\endgroup\)

Radix
Senior
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6259
Wohnort: Wien
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-02 18:36

Clever. Ich versuchte zu verhindern, dass die ungeraden Sinuspotenzen entstehen. Du hingegen zauberst sie im Nachhinein weg.

Vielen Dank
Radix


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5587
Wohnort: Berlin
Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-04 15:39

Alternativ folgt das auch aus der Rekursionsformel $T_{n+1}(x)=2 x T_n(x) - T_{n-1}(x)$ (mit Anfangswerten $T_0(x)=1$, $T_1(x)=x$). Diese Beschreibung ist vielleicht ohnehin besser, weil hier keine Beschränkung auf $x \in [-1,1]$ nötig ist (bzw. ja $x$ sogar als formale Variable angesehen werden kann).




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Druckdatum: 2021-05-15 22:11