Forum:  Topologie
Thema: Zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend
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Phoensie
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Dabei seit: 11.04.2020
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Wohnort: Muri AG, Schweiz
Themenstart: 2021-03-03 09:03
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Liebe Matheplanetarier

Für folgende Aufgabe fehlt mir ein Beweisteil:

Aufgabe.
Seien $A = \{(0,y) \in \R^2 \mid |y|\leq 1\}$ und $B=\{(x,\sin(1/x)) \in \R^2 \mid 0 < x \leq 1\}$. Zeichne $X:=A \cup B$ und zeige, dass $X$, versehen mit der Spurtopologie des $\R^2$, zusammenhängend aber nicht wegzusammenhängend ist.

Skizze von $X$.


Beweisteile, die ich zeigen konnte.
$A$ ist wegzusammenhängend.
$B$ ist wegzusammenhängend.
$X$ kann nicht wegzusammenhängend sein, da $\lim_{x \to 0^+}\sin(1/x)$ nicht existiert.

Frage.
Wie belege ich, dass $X$ zusammenhängend ist?

LG Phoensie😄
\(\endgroup\)

Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1301
Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-03 09:35
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Hi Phoensie,

bin mir nicht sicher, ob das die leichteste Vorangehensweise ist, aber aus dem Bauch heraus würde ich es so machen:
- Sei $X = Y \sqcup Z$ eine Zerlegung.
- Wie sieht die Zerlegung auf $A = X \cap A$ aus?
- Wie sieht die Zerlegung auf $B = X \cap B$ aus?
- Folgere, dass die Zerlegung trivial ist.
\(\endgroup\)

Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11467
Wohnort: Bayern
Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-03 12:22

Hallo,
zeige, daß es keine offene Umgebung um (0,0) gibt, die disjunkt zu B ist. Folgere hieraus, daß es keine offene Umgebung von A geben kann, die disjunkt zu B ist.

Zur Wegzusammenhängigkeit: Etwas ausführlicher, als nur die lim-Aussage sollte der Beweis aber schon sein, er ist eigentlich das etwas anspruchsvollere an dieser Autgabe.
Gruß Wauzi


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5587
Wohnort: Berlin
Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-04 12:15

Bei Interesse kannst du hier mehr über diesen Raum erfahren (aber am besten erst, wenn die Aufgabe erledigt ist): en.wikipedia.org/wiki/Topologist%27s_sine_curve




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Druckdatum: 2021-05-15 22:21