Forum:  DGLen 1. Ordnung
Thema: Schwimmer im Fluss
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paulster
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Themenstart: 2021-03-08 23:06

Hallo Leute,

ich habe folgende Aufgabe :


Am Ende füge ich noch meine Skizze ein :)

Dazu habe ich zunächst folgende Gleichung aufgestellt:
$v(x) = \frac{v_{0}}{v_{E}}*(1-\frac{x^2}{a^2})$
Ich suche also eine Gleichung, deren Ableitung obere Funktion (Geschwindigkeit an der Stelle $x$ )ist. Ist denn diese Gleichung korrekt ?
Ich würde diese also einfach integrieren, um den Weg zu erhalten, also:
$\frac{v_{0}}{v_{E}} * \int_{-a}^{a} (1-\frac{x^2}{a^2}) dx = -\frac{4}{3}a\frac{v_{0}}{v_{E}} $
Somit wäre die Abdrift gleich $ \frac{4}{3}a\frac{v_{0}}{v_{E}}$ oder ?

Nun soll man aber auch die benötigte Zeit berechnen, dazu muss ich nun einen Zusammenhang zur Zeit t herstellen. Da hab ich folgendes probiert:

$x(t) = v_{E}*t - a$
$v(t) = \frac{v_{0}}{v_{E}}*(1-\frac{x(t)^2}{a^2}) = \frac{v_{0}}{v_{E}}*(1-\frac{(v_{E}*t-a)^2}{a^2})$
$= \frac{v_{0}}{v_{E}}*(\frac{2*v_{E}*t*a-v_{E}^2*t^2}{a^2})$ $=$ $ \frac{v_{0}}{a^2} (2*t*a - v_{E}*t^2)$

Nun hab ich die Nullstellen berechnet, um zu wissen, wann der Schwimmer am anderen Ufer ist.
Ich erhalte hier $t_{1}=0$ und $t_{2}=\frac{2a}{v_{E}}$, was ja intuitiv Sinn macht.

Das Problem ist nun, wenn ich den Weg (oben bereits berechnet) nun so berechnen will, denn dann erhalte ich:
$s(t)=\frac{v_{0}}{a^2} * \int (2*t*a - v_{E}*t^2) dt = \frac{v_{0}}{a^2} * (t^2*a - \frac{1}{3}v_{E}*t^3)$
Und wenn ich dann $t_2$ eisetze, kommt heraus:
$s(\frac{2a}{v_{E}}) = \frac{v_{0}}{a^2} * (\frac{4*a^3}{v_{E}^2} - \frac{8*a^3}{3*v_{E}^2}) = v_{0}*\frac{4}{3}\frac{a}{v_{E}^2}$

Also hier hab ich plötzlich $v_{E}^2$ im Nenner, obwohl ich oben $v_{E}$ rausbekommen habe.

Und nun die Frage, woran es denn scheitert, ist meine Idee denn überhaupt korrekt ? Scheitert es an dem Ansatz, eine Abhängigkeit von der Zeit herzustellen. Müsste ich evtl. die innere Ableitung von dem $x(t)$ noch ins Spiel bringen, damit sich das am Ende wegkürzt, aber wie begründe ich das?

Hier noch meine Skizze zu dem Bsp.


Danke im Voraus für eure Antworten.

LG paulster




Caban
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-08 23:39

Hallo
Deine erste Gleichung kann einheitenmäßig nicht stimmen.
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Gruß Caban


paulster
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-09 00:02

Hallo Caban,

danke zunächst für deine rasche Antwort.
Diese Gleichung habe ich ja oben stehen, nur habe ich sie gleich $v(x)$ genannt. Die hab ich dann integriert und den Weg berechnet, ist das nicht richtig so? Aber wie berechne ich da die benötigte Zeit dann und so dann auch den Weg?
Sry, ich kenn mich mit Differentialgleichungen noch nicht gut aus, die VO hat erst begonnen.

LG paulster


Caban
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-09 00:19

Hallo

Deine Gleichung war aber falsch, weil es eine Gleichung für y ist, nicht für den Weg. Für die Zeit ergibt sich t=2a/v_e durch Superposition. Für den Abtrift habe ich denselbenn Term wie du, allerdings bin über über die durchschnittliche Flussgeschwindigkeit und Strahlensatz gegangen.

Gruß caban


paulster
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-09 16:37

Hallo Caban,

ich komme mit deinem Ansatz leider nicht sehr weit bzw. bin ich mir einfach nicht sicher, wie ich den anwenden soll. Ich hab es jetzt mal so aufgeschrieben und deine Anmerkungen berücksichtigt.

Ich hoffe, dass es so passt ?

LG paulster und danke 😁


Caban
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Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-09 22:12

Hallo
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Gruß Caban


paulster
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-09 23:07

Hallo Caban,

danke für deine Antwort, ich habe das nun noch hinzugefügt, jetzt sollte es aber passen, oder ?

Diese Konstante c muss halt so gewählt werden, dass $y_{-a}=y_{0}$ erfüllt ist, weil man einfach nicht weiß in welcher Höhe der Schwimmer in den Fluss geht, oder ?

LG und danke,
paulster


Caban
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Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-09 23:11

Hallo

Ja stimmt, man weiß nicht wo der Schwimmer in den Fluss geht, deswegen muss man das allgemein rechnen.

Gruß Caban


paulster
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-09 23:12

Super, vielen Dank für deine Hilfe ;)

LG paulster, schönen Abend noch




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Druckdatum: 2021-05-16 20:14