Forum:  Taylorentwicklungen
Thema: Ist das Taylorentwicklung?
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math321
Junior
Dabei seit: 19.02.2021
Mitteilungen: 17
Themenstart: 2021-04-08 17:34
\(\begingroup\)\(\newcommand{\lv}{\left\lvert} \newcommand{\rv}{\right\rvert} \newcommand{\lV}{\left\lVert} \newcommand{\rV}{\right\rVert} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)
Nabend,

angenommen, ich habe eine Funktion <math>a(\vec{x},t)</math> und ich nehme an, dass die Zeitableitung von der Form
<math>\displaystyle
\dot{a}=w(a,\textrm{grad }a,\Delta a)
</math>
ist und dass die räumliche Variation lokal und langsam ist.

Kann man dann die rechte Seite approximieren durch
<math>\displaystyle
\dot{a}=g(a)+A\textrm{grad }a+ B(\textrm{grad }a)^2 + D\Delta a,
</math>
wobei <math>A, B</math> und <math>D</math> Funktionen in <math>a</math> seien?


Ist das nicht einfach Taylorentwicklung der Funktion von <math>w</math> im Punkt <math>(a,0,0)</math>? Also <math>g(a)=w(a,0,0), A=\partial_y w(a,\textrm{grad }a,\Delta a), B=\frac{1}{2!}\partial_{yy}w(a,\textrm{grad }a,\Delta a)</math> und <math>D&=\partial_z w(a,\textrm{grad }a,\Delta a)</math>?


Man nimmt ja an, dass die räumliche Variation klein ist, also das heißt wohl, dass <math>\textrm{grad }a</math> und <math>\Delta a</math> nahe 0 sind.



Macht das Sinn?


Grüße
\(\endgroup\)

StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-10 07:35

Hallo math321,
für die Taylorentwicklung muss \(A=\partial_y w(a,0,0)\), \(B=\frac{1}{2!}\partial_{yy}w(a,0,0)\) und \(D=\partial_z w(a,0,0)\) eingesetzt werden und wenn es ein vollständiges Taylorpolynom zweiter Ordnung werden soll, auch noch die Summanden mit \(\partial_{yz}w(a,0,0)\) und \(\partial_{zz}w(a,0,0)\) (Beispiel).

Viele Grüße,
  Stefan


math321
Junior
Dabei seit: 19.02.2021
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-11 12:39
\(\begingroup\)\(\newcommand{\lv}{\left\lvert} \newcommand{\rv}{\right\rvert} \newcommand{\lV}{\left\lVert} \newcommand{\rV}{\right\rVert} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)
Hallo, ich habe da noch eine Anschlussfrage.

Ist die Funktion $g(a)$ eigentlich nichtlinear?

Ich meine, wenn man die Gradiententerme weglässt, erinnert das ja irgendwie an reaction-diffusion equations der Form

$a_t=D\Delta a + g(a)$,

und bei diesen Gleichungen ist $g(a)$ ja die Nichtlinearität.
Demnach müsste $g(a)$ eigentlich nichtlinear sein, zumal
$g(a)=w(a,0,0)$ und $w$ ja wahrscheinlich nichtlinear ist, sonst müsste man ja nicht den ganzen Aufwand mit der Taylorentwicklung bis zum zweiten Grad betreiben.


Grüße
\(\endgroup\)

StefanVogel
Senior
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-11 14:02

War auch mein Gedanke, dass allgemein \(\partial_x w(a,0,0)\) und Ableitungen davon mit berücksichtigt werden. Vielleicht ist hier die Nichtlinearität so gering, dass sie weggelassen werden konnte. Man muss ja nur soweit annähern, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Allein \(w(a,0,0)\) ist schon eine Annäherung durch ein Taylorpolynom.


math321
Junior
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-11 14:48
\(\begingroup\)\(\newcommand{\lv}{\left\lvert} \newcommand{\rv}{\right\rvert} \newcommand{\lV}{\left\lVert} \newcommand{\rV}{\right\rVert} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)
Hallo,

dann wäre es wohl besser, zumindest <math>g(a)=w(a,0,0) + \partial_x w(a,0,0) (\tilde{a}-a)+...</math> zu schreiben, um anzudeuten, dass <math>g(a)</math> nicht linear sein muss. Wobei <math>\tilde{a}</math> "nahe bei <math>a</math>" ist.

🤔
\(\endgroup\)

StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
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Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-11 15:08

\(w(a,0,0)\) ist konstant, \(w(a,0,0) + \partial_x w(a,0,0) (\tilde{a}-a)\) ist linear, dann noch die drei Punkte \(+\ldots\) dass nichtlineare Anteile folgen können. Ja, das ist ein Hinweis darauf. Du kannst auch die Landau-Notation aus der mehrdimensionalen qualitativen Taylorformel verwenden.




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Druckdatum: 2021-06-15 19:21