Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Summe Wienerprozess Verteilung
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Axerstein
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Themenstart: 2021-04-09 15:27

Einen wunderschönen guten Tag!
Ich komme bei folgendem Beispiel nicht weiter:
Angenommen $W$ ist eine Brownsche Bewegung und $f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}$ ist eine beschränkte stetige Funktion und $0 \leq t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{n}$. Welche Verteilung hat die Zufallsvariable
$$ U=\sum_{k=1}^{n} f\left(t_{k-1}\right) \Delta W\left(t_{k}\right)
$$ wobei $\Delta W\left(t_{k}\right)=W\left(t_{k}\right)-W\left(t_{k-1}\right)$. Geben Sie auch $E[U]$ und $\operatorname{Var}[U]$ an.
Kann mir wer da weiterhelfen?
Lg Axerstein


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 485
Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-09 18:37

Hallo Axerstein,

ich kenne mich mit Brown'schen Bewegungen nicht aus, aber gilt laut dieser Definition nicht, dass \(\Delta W(t_1),\ldots,\Delta W(t_n)\) unabhängig sind und jeweils \(\Delta W(t_k)\sim \mathcal{N}(0,t_k-t_{k-1})\)? Dann würde das Ergebnis hieraus folgen.


Axerstein
Aktiv
Dabei seit: 02.03.2021
Mitteilungen: 33
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-10 09:11

Vielen Dank für die Antwort!
So würde ich auf folgende Lösung kommen:
Es gilt: $\Delta W(t_{1}), \ldots, \Delta W(t_{n}) \text{ sind unabhängig und } \Delta W(t_{k}) \sim \mathcal{N}(0, t_{k}-t_{k-1})$.
Nun gilt, da jede Linearkombination von unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen wieder normalverteilt ist:
\[
U=\sum_{k=1}^{n}f\left(t_{k-1}\right) \Delta W\left(t_{k}\right)\sim \mathcal{N}(\sum_{k=1}^{n}f(t_{k-1})\cdot0,\sum_{k=1}^{n}f(t_{k-1})(t_k-t_{k-1}))=\mathcal{N}(0,\sum_{k=1}^{n}f(t_{k-1})^2(t_k-t_{k-1}))
\] Damit ist U normalverteilt mit Erwartungswert $E[U]=0$ und Varianz
$$Var[U]=\sum_{k=1}^{n}f(t_{k-1})^2(t_k-t_{k-1})$$ Ist das so richtig?
Lg


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 485
Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-10 16:51

Ich denke schon, Du hast nur an einer Stelle einen Tippfehler gemacht, da sollte wie danach auch \(\sum_{k=1}^n f(t_{k-1})^2(t_k-t_{k-1})\) statt \(\sum_{k=1}^n f(t_{k-1})(t_k-t_{k-1})\) stehen.

Ich kenne den Kontext nicht, aber was auffällt ist, dass die Varianz die Form einer Riemann-Summe hat. Wenn Du \(0\leq a<b\) fixierst, \(t_0=a\) und \(t_n=b\) wählst und dann die Feinheit der Zerlegung gegen \(0\) gehen lässt, sollte \(\operatorname{Var}(U)\to \int_a^b f(t)^2\,dt\) für \(n\to\infty\).


Axerstein
Aktiv
Dabei seit: 02.03.2021
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-10 17:56

Vielen Dank für deine Hilfe!




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Druckdatum: 2021-06-16 19:44