Forum:  Lebesgue-Integral
Thema: Lebesgue-Algebra, Lebesgue-Nullmengen und Elementarfiguren
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Gast123
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Themenstart: 2021-04-10 11:20

Hallo,

ich habe mal ein paar grundsätzliche Fragen zur Maßtheorie.

1.) Warum genau arbeitet man mit dem Lebesgue Maß in aller Regel auf der Borel Sigma Algebra und nicht auf der Lebesgue Sigma Algebra, welche man ja durch die Definition von $\lambda^{*}$-messbaren Mengen (nach Caratheodory) erhält (und welche ja auch andere Vorteile hat, zB dass sie vollständig ist und dass auf Lebesgue Mengen das Riemann Integral von Rimann-integrierbaren Funktionen mit dem Lebesgue Integral übereinstimmt etc)?

2.) Zu den Elementarfiguren:
a) Sind die Elementarfiguren auch ein Erzeugendensystem der Borel Sigma Algebra? Wenn, ja warum? Denn Elementarfiguren sind ja nur endliche Vereinigungen von Quadern aber in einer Sigma Algebra benötigen wir ja abzählbar unendliche Vereinigungen. D.h. in der Borel Algebra sind auch lauter abzählbar unendliche Vereinigungen von Quadern enthalten und ich wüsste daher nicht, wie man das mit den Elementarfiguren hinbekommt?

b) Ist es egal ob ich bei der Konstruktion von Caratheodory für das Borel-Lebesgue Maß eine Pflasterung bestehend aus Quadern oder eine Pflasterung bestehend aus Elementarfiguren nehme? Ist dies äquivalent?

3.) Manche Autoren definieren Lebesgue Nullmengen über das äußere Lebesgue Maß und andere über das Lebesgue Maß. Macht das einen Unterschied? Warum würde man eine Definition der anderen vorziehen?


nzimme10
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-10 11:38

1) Die Borel-Algebra enthält eigentlich bereits alle für den mathematischen Alltag benötigten Mengen:

Alle offenen Mengen, alle abgeschlossenen Mengen, alle kompakten Mengen, etc.

Weiter kann man zeigen, dass sich eine Lebesgue-Menge von einer Borel-Menge höchstens um eine Lebesgue-Nullmenge unterscheidet.

2) Ja die Elementarfiguren bilden einen Ring. Es gibt einen Fortsetzungssatz, der garantiert, dass man das Borel-Lebesgue Prämaß auf dem Ring der Elementarfiguren auf die von dem Ring erzeugte $\sigma$-Algebra fortsetzen kann. Diese enthält auf jeden Fall die Borel-Algebra, wenn das zur Konstruktion verwendete äußere Maß ein sog. metrisches äußeres Maß ist.

b) Ja du kannst auch Quader nehmen oder Kugeln. Jede Elementarfigur ist endliche Vereinigung von Quadern und jeder Quader ist natürlich auch eine Elementarfigur. Das spielt also keine Rolle. Der Grund warum man am Anfang eher Quader als Kugeln nimmt ist einfach, dass man diesen elementargeometrisch ein natürliches Maß zuordnen kann, während man das bei Kugeln eigentlich nicht kann, ohne Mittel der Maßtheorie.


Gast123
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19 17:05

Hallo nzimme10,

danke für deine Antworten!
Aber hätte es denn Nachteile auf der Lebesgue statt der Borel sigma Algebra zu arbeiten?
Denn die Lebesgue Algebra hat ja zB den Vorteil, dass sie vollständig ist etc.


nzimme10
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-20 07:58

Hallo,

ich denke das kommt ganz darauf an was man machen möchte. In der Analysis wird auch oft die Lebesgue-Algebra benutzt.

Eine interessante historische Anmerkung zu dieser Frage findet man hier.

LG Nico




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Druckdatum: 2021-06-22 03:33