Forum:  Lineare Abbildungen
Thema: Linearität
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cphysik
Aktiv
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 24
Themenstart: 2021-04-12 13:14

Hallo,

wir betrachten den Raum \(V = B(\mathbb{N}, \mathbb{C}) \) aller beschränkten komplexen Folgen mit der Supremumsnorm. Weiters sei \(W = \{ \psi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C} |\sum_{n=0}^{\infty} | \psi(n)| \text{ ist konvergent } \} \), der Raum aller komplexen Folgen, deren zugehörige Reihe absolut konvergiert, mit der Norm \(||\psi||_1 = \sum_{k=0}^{\infty} |\psi(n)|\).

Man soll die Linearität der folgenden Abbildung nachweisen

\(f: V \rightarrow W: \varphi \rightarrow \left(n \rightarrow \frac{\varphi(n)}{(n+1)^2} \right)\).

Ich weiß natürlich, dass man die Linearität einer Abbildung durch nachprüfen der beiden Eigenschaften zeigt, also durch Überprüfung von

1. Homogenität \(f(\alpha x) = \alpha f(x)\)
2. Additivität \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)

aber ich komme hier nicht weiter, wenn ich einsetzte, schaffe ich es nicht richtig umzformen, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen.

Vielen Dank für die Hilfe im Voraus!



wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1467
Wohnort: Freiburg
Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-12 13:55

Hallo cphysik,

im Prinzip musst du dir überlegen, auf was \(\phi+\psi\) und \(\alpha \psi\) abgebildet werden. Benutze die Definition der Abbildung, also

\(\phi+\psi \mapsto ?\)
 Hoffentlich hilft dir das.

lg Wladimir


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5624
Wohnort: Berlin
Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-12 14:00

Der Beweis schreibt sich von alleine hin, wenn du die Definitionen benutzt; siehe LinkWie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann für eine genauere Anleitung.


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6939
Wohnort: Milchstraße
Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-12 14:02

Hallo cphysik,

als erstes solltest du zeigen, dass tatsächlich \(f(\phi)\in W\) für \(\phi\in V\) gilt.

Der Nachweis der Linearität ist eigentlich nur ein Klacks. Man muss sich nur klar werden, was eigentlich zu zeigen ist.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


cphysik
Aktiv
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 24
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12 14:11

Hallo Wladimir,

Ah ich glaube ich habe meinen Denkfehler, jetzt habe ich mir folgendes überlegt, für \(\phi, \varphi \in V\)

\(f(\phi) + f(\varphi) = \frac{\phi(n)}{(n+1)^2} + \frac{\varphi(n)}{(n+1)^2} = \frac{\phi(n) + \varphi(n)}{(n+1)^2} = f(\phi + \varphi) \)

und für die Homogenität für \(\alpha \in \mathbb{C}, \varphi \in V\)

\(f(\alpha \varphi) = \frac{\alpha \varphi(n)}{(n+1)^2} = \alpha \frac{\varphi(n)}{(n+1)^2} = \alpha f(\varphi)\)

Daher ist \(f\) linear.

Macht das Sinn?

Vielen dank

Lg cphysik


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6939
Wohnort: Milchstraße
Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-12 14:53

Formal ist das nicht ganz korrekt. Beachte, dass \(f(\phi),f(\varphi),f(\phi+\varphi)\) Elemente aus W sind, in der Mitte deiner Gleichungskette aber komplexe Zahlen stehen. Da kann also keine Gleichheit bestehen.


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5624
Wohnort: Berlin
Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-12 15:11

Du musst dir nichts überlegen. Du musst einfach nur die Definitionen einsetzen. Das hast du aber nicht getan. So entstehen dann die Fehler, wie von StrgAltEntf beschrieben.


cphysik
Aktiv
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 24
Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12 15:45

Hallo StrgAltEntf, Triceratops

ok, also nur die Definition einsetzten, aber ist die Definition nicht einfach \(n \rightarrow \frac{\varphi(n)}{(n+1)^2}\), d.h.

\(f(\varphi) + f(\phi) = \left( n \rightarrow \frac{\varphi(n)}{(n+1)^2} \right)+ \left(n \rightarrow \frac{\phi(n)}{(n+1)^2} \right) = \left(n \rightarrow \frac{\phi(n) + \varphi(n)}{(n+1)^2} \right) = f(\varphi(n) + \phi(n)) \).

Tut mir leid für die dummen Fragen.


ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3251
Wohnort: Berlin
Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-12 17:17

Bei der letzten Gleichheit hast du die Definition nicht richtig eingesetzt. So wäre es richtig:

\( \left(n \rightarrow \frac{\phi(n) + \varphi(n)}{(n+1)^2} \right) = \left (n\mapsto \frac{(\varphi+\phi)(n)}{(n+1)^2}\right) = f(\varphi + \phi) \)


cphysik
Aktiv
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 24
Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12 17:31

Hallo Ligning,

danke




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Druckdatum: 2021-06-17 03:56