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Thema: Signum von Verkettung von Permutationen beweisen
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hari01071983
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Dabei seit: 16.10.2006
Mitteilungen: 609
Wohnort: Österreich
Themenstart: 2021-04-12 21:34

Liebe Alle,
habe folgenden Permutationsbeweis gefunden. Und mir ist hier nicht klar warum ich die Schritte 1. und 2. machen darf.


Vielleicht kann mir da jemand helfen.
Danke und LG Hari


AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3527
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-12 22:32

Huhu Hari,

im ersten Fall wird einfach die Rolle von $i$ und $j$ vertauscht (was im Grunde nur eine Umbenennung ist); im zweiten Falle wird ausgenutzt, dass $\{ 1, ..., N \} = \{ \sigma(1), ..., \sigma(N) \}$ ist. Setzt man man z.B. $(s,t)=(\sigma(i), \sigma(j)$ so steht das Gewünschte auch da (der Autor nennt die "neuen" Variablen eben auch nur wieder $i$ und $j$), also ist auch dies lediglich eine (weitere) Umbenennung.

lg, AK


hari01071983
Aktiv
Dabei seit: 16.10.2006
Mitteilungen: 609
Wohnort: Österreich
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12 23:23

Vielen Dank für deine Antwort,bei 2. stimme ich dir zu, aber 1. kann keine Umbenennung sein da sonst im Produkt i und j vertauscht werden müssten, oder?


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2285
Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-12 23:33

2021-04-12 23:23 - hari01071983 in Beitrag No. 2 schreibt:
aber 1. kann keine Umbenennung sein da sonst im Produkt i und j vertauscht werden müssten

Das Produkt ändert sich nicht, wenn man $i$ und $j$ vertauscht, denn sowohl im Zähler wie auch im Nenner drehen sich die Vorzeichen und im Ergebnis bleibt alles beim Alten.


helmetzer
Senior
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1518
Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-13 08:41

Ich fand diesen Artikel hier auf dem MP sehr hilfreich:

LinkKonzepte der Gruppentheorie 2

Persönlich tat ich mir leichter, im Produkt nicht \(i \lt j\) zu betrachten, sondern die 2-elementigen Teilmengen \(\{i, j\}\).

Beachte dabei, dass \(\{i, j\} \mapsto \{\sigma(i), \sigma(j)\}\) eine bijektive Selbstabb. der Menge der 2-elementigen Teilmengen stiftet.

Was natürlich auf dasselbe hinausläuft.



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Druckdatum: 2021-06-22 03:59