Forum:  Numerik & Optimierung
Thema: LGS mit linearem Ausgleichungsproblem
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Spedex
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Dabei seit: 19.03.2020
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Themenstart: 2021-04-12 21:49
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hallo, folgende Aufgabenstellung:

Dazu habe ich den Ansatz gefunden, dass man es wie folgt schreiben soll:
\[A^T\cdot A=A^T\cdot b\] \(A^T\cdot A\) habe ich mir ausgerechnet, aber was mache ich dann?
Ich kenn es dann wie folgt schreiben:
\[b={A^T}^{-1}\cdot A^T\cdot A\}
Nur das bringt ja nichts, wie komme ich denn dann auf die Lösungen der einzelnen Koeffizienten?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Diophant
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-12 22:06
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo,

der Ansatz lautet übrigens:

\[A^T\cdot A\cdot \vec{x}=A^T\cdot \vec{b}\]
(Hier mit: \(\vec{x}=\left(x,y,z\right)^T\) )

Rechne doch einfach \(A^T\cdot b\) explizit aus. Dann verbleibt ein ganz gewöhnliches 3x3-LGS.

Mit einer Inversen kommst du hier aus dem einfachen Grund nicht weiter, weil \(A\) und \(A^T\) überhaupt keine Inversen besitzen (warum?).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Spedex
Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12 22:50
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hm, also ich komm dann auf ein LGS, das hat aber andere Lösungen.
Die finale LGS Matrix, auf die ich dann komme ist folgende:
\[\bpm 3 && 2 && 2 && | && 5 \\ 2 && 4 && 0 && | && 2 \\ 1 && 0 && 5 && | && 7\epm\] Da bekommt man dann Lösungen für \(x,y,z\) heraus.
\[z=\frac{5}{4}\quad y=\frac{1}{8} \quad x=\frac{3}{4}\] Für die eigentliche Matrix bekommt man laut Wolfram Mathematica keine Lösung, leere Lösungsmenge.

Kann das sein?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-12 23:18

Hallo Spedex,

ich habe vorhin am PC etwas anderes erhalten. Also rechne besser nochmal nach.

Und bevor du dich weiter mit solchen unnötigen Versuchen herumplagst:

2021-04-12 22:50 - Spedex in Beitrag No. 2 schreibt:
Für die eigentliche Matrix bekommt man laut Wolfram Mathematica keine Lösung, leere Lösungsmenge.

Kann das sein?

Ja natürlich kann das sein (wo sind die in der Aufgabe geforderten Rangberechnungen?).

Lies also zunächst einmal nach, was man unter einem Linearen Ausgleichsproblem versteht, kurz: wozu so etwas gut ist.


Gruß, Diophant


Spedex
Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12 23:31
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ok, das mit dem Rang hätte ich davor machen sollen, habe es aber jetzt gemacht.
\[\on{rang}(A)=3<\on{rang}(A|b)=4\]
Daher das mit dem "keine Lösung".

Bezüglich Ausrechnen: Ich habe leider einen kleinen Fehler gemacht, der mir jetzt alles verhaut, werde ich später möglicherweise ändern.

Danke auf jeden Fall.

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)



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Druckdatum: 2021-06-15 17:06