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Thema: Schnitt Normalteiler Untergruppe
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Durmdof14
Junior
Dabei seit: 16.03.2021
Mitteilungen: 7
Themenstart: 2021-04-15 14:46

Hallo Zusammen,

ich habe Probleme bei folgenden Aufgaben und würde micht über Hilfe/ die Lösung freuen, da ich nicht mehr viel Zeit habe.

Aufgabe:
Sei G eine Gruppe, H eine Untergruppe und N eine normale Untergruppe/Normalteiler. Beweise:
a) N ist eine normale Untergruppe von H*N
b) Der Schnitt von H und N ist eine normale Untergruppe von H.

Vielen Dank für eure Hilfe


DominikS
Aktiv
Dabei seit: 27.02.2021
Mitteilungen: 82
Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-15 14:58

Hallo,

eine Lösung wird dir hier wohl niemand einfach so hinschreiben.
Wenn du aber online bleibst und gut mitdenkst kann ich dir versprechen, dass du die Lösung rechtzeitig selber finden wirst, bzw. du dementsprechend unterstützt wirst.

Grundsätzlich lässt sich der Beweis nach der hier beschriebenen Methode finden: LinkWie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann

Zu a):

Zu erst einmal musst du die Definition wiederholen und dir klar machen was es bedeutet, dass $N$ ein Normalteiler von $HN$ ist.
Gegebenenfalls musst du auch die Definition von $HN$ nochmal wiederholen.

Wenn du nun weißt was zu zeigen ist (es gibt viele äquivalente Charakterisierungen), sollte der Beweis gelingen.

Wie weit kommst du?

Mit der b) können wir uns danach beschäftigen.


Durmdof14
Junior
Dabei seit: 16.03.2021
Mitteilungen: 7
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 15:39

Das habe ich mir schon gedacht, war von mir etwas falsch ausgedrückt 😅

N ist normalteiler von HN bedeutet, dass für alle a ∈ NH gilt a*N*a^-1=N oder?
und NH ist doch das Komplexprodukt.


DominikS
Aktiv
Dabei seit: 27.02.2021
Mitteilungen: 82
Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-15 15:56

Genau.
$N$ ist ein Normalteiler von $HN$ wenn für alle $a\in HN$ gilt, dass $aNa^{-1}= N$.

Es  reicht aber auch wenn du $aNa^{-1}\subseteq N$ zeigen kannst. Das ist eine äquivalente Aussage, wo man weniger zeigen müsste.

$HN=\{hn: h\in H, n\in N\}$.

Nimm nun also ein beliebiges Element aus $aNa^{-1}$ und zeige, dass dieses wieder ein Element aus $N$ ist.

Wie gehst du vor?


Durmdof14
Junior
Dabei seit: 16.03.2021
Mitteilungen: 7
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 16:27

2021-04-15 15:56 - DominikS in Beitrag No. 3 schreibt:
Genau.
$N$ ist ein Normalteiler von $HN$ wenn für alle $a\in HN$ gilt, dass $aNa^{-1}= N$.

Es  reicht aber auch wenn du $aNa^{-1}\subseteq N$ zeigen kannst. Das ist eine äquivalente Aussage, wo man weniger zeigen müsste.

$HN=\{hn: h\in H, n\in N\}$.

Nimm nun also ein beliebiges Element aus $aNa^{-1}$ und zeige, dass dieses wieder ein Element aus $N$ ist.

Wie gehst du vor?

Meine Idee:

Sei x ∈ N und a ∈ HN beliebig, dann gilt $axa^{-1}$=$(ax)a^{-1}$=$(xa)a^{-1}$=$x(aa^{-1})$=xe=x

woraus folgt $aNa^{-1}$=N

Kann man das so machen?


DominikS
Aktiv
Dabei seit: 27.02.2021
Mitteilungen: 82
Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-15 16:52

Nein, so geht es leider nicht.

Du benutzt hier, dass ax=xa gilt. Also Kommutativität.
Die Gruppe ist aber im allgemeinen nicht kommutativ.
Wahrscheinlich verwechselst du das mit der Beziehung, dass für Normalteiler gilt $gN=Ng$. Das bedeutet aber nicht, dass gn=ng gilt, sondern nur, dass die Elemente in einer schwächeren Form (nennen wir es mal so) kommutieren.

Wenn du also ein Element $gn\in gN$ hast, dann findest du ein Element $n'\in N$ und $g'\in G$ mit $gn=n'g'$. Aber diese Elemente müssen nicht übereinstimmen.

Du hast bisher folgende Daten nicht benutzt:

1) Was heißt es, dass $a\in HN$ gilt? Wir können $a$ anders darstellen.

2) Du hast nicht benutzt, dass $H$ ein Normalteiler ist.



Durmdof14
Junior
Dabei seit: 16.03.2021
Mitteilungen: 7
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 17:19


Wenn du also ein Element $gn\in gN$ hast, dann findest du ein Element $n'\in N$ und $g'\in G$ mit $gn=n'g'$. Aber diese Elemente müssen nicht übereinstimmen.

Du hast bisher folgende Daten nicht benutzt:

1) Was heißt es, dass $a\in HN$ gilt? Wir können $a$ anders darstellen.

2) Du hast nicht benutzt, dass $H$ ein Normalteiler ist.


Ich bin jetzt etwas verwirrt 😅
Also zu 1) fällt mir jetzt spontan ein, dass es ein $h\in H$ und ein $n\in N$ gibt, sodass a*n=a

Ich wüsste jetzt aber nicht wie es mir hilft, dass N ein Normalteiler ist


DominikS
Aktiv
Dabei seit: 27.02.2021
Mitteilungen: 82
Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-15 17:36

Du meinst sicherlich $hn=a$. Das ist richtig.

Jetzt können wir das erstmal einsetzen:

$axa^{-1}=(hn)x(hn)^{-1}=hnxn^{-1}h^{-1}$

Jetzt überlege einmal, wo du hin möchtest.
Du möchtest doch zeigen, dass wir ein Element aus $N$ vorliegen haben.
Wenn wir zeigen können, dass wir hier ein Produkt aus Elementen von $N$ haben, sind wir fertig.

$x\in N$ gilt sowieso.

Nun überlege dir weshalb $hn\in N$ und $n^{-1}h^{-1}$ Elemente aus $N$ sind.
Hier geht dann die Eigenschaft von $H$ ein, Normalteiler zu sein.

Tipp: Schreibe $e$ geschickt um und füge es an geeigneten Stellen ein, um das zu realisieren.

Ich werde nun übrigens bis ca. 19 Uhr nicht antworten können.


Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46399
Wohnort: Dresden
Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-15 17:42

2021-04-15 16:52 - DominikS in Beitrag No. 5 schreibt:
Du hast nicht benutzt, dass $H$ ein Normalteiler ist.
Hi DominikS,
das kann man auch nicht benutzen, weil es nicht vorausgesetzt ist.
H ist eine Untergruppe und N ein Normalteiler von G.
Gruß Buri

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


Durmdof14
Junior
Dabei seit: 16.03.2021
Mitteilungen: 7
Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 17:49

2021-04-15 17:36 - DominikS in Beitrag No. 7 schreibt:
Du meinst sicherlich $hn=a$. Das ist richtig.

Jetzt können wir das erstmal einsetzen:

$axa^{-1}=(hn)x(hn)^{-1}=hnxn^{-1}h^{-1}$

Jetzt überlege einmal, wo du hin möchtest.
Du möchtest doch zeigen, dass wir ein Element aus $N$ vorliegen haben.
Wenn wir zeigen können, dass wir hier ein Produkt aus Elementen von $N$ haben, sind wir fertig.

$x\in N$ gilt sowieso.

Nun überlege dir weshalb $hn\in N$ und $n^{-1}h^{-1}$ Elemente aus $N$ sind.
Hier geht dann die Eigenschaft von $H$ ein, Normalteiler zu sein.

Tipp: Schreibe $e$ geschickt um und füge es an geeigneten Stellen ein, um das zu realisieren.

Ich werde nun übrigens bis ca. 19 Uhr nicht antworten können.


Danke schon mal für deine Hilfe, hat mir sehr geholfen. Ich werde es jetzt einmal probieren und wenn ich noch fragen habe, melde ich mich nochmal

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]


Durmdof14
Junior
Dabei seit: 16.03.2021
Mitteilungen: 7
Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 17:55

2021-04-15 17:42 - Buri in Beitrag No. 8 schreibt:
2021-04-15 16:52 - DominikS in Beitrag No. 5 schreibt:
Du hast nicht benutzt, dass $H$ ein Normalteiler ist.
Hi DominikS,
das kann man auch nicht benutzen, weil es nicht vorausgesetzt ist.
H ist eine Untergruppe und N ein Normalteiler von G.
Gruß Buri

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


hast du einen Tipp wie ich es sonst machen kann?


DominikS
Aktiv
Dabei seit: 27.02.2021
Mitteilungen: 82
Beitrag No.11, eingetragen 2021-04-15 19:15

Sorry, da habe ich was durcheinander gebracht. Hätte mehr aufpassen sollen.
An der Vorgehensweise ändert sich aber nichts.




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Druckdatum: 2021-06-25 14:54