Forum:  Integration im IR^n
Thema: Coarea formula
Themen-Übersicht
LamyOriginal
Aktiv
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 311
Themenstart: 2021-04-16 17:49

Hallo, ich soll folgende Formel beweisen:

$\int_{B_R(0)} f dL^n = \int_0^R \int_{\delta B_r(0)} f dS dr$

Uns wurde als Hinweis eine Anleitung gegeben, dieser bin ich gefolgt und komme aber an dieser Stelle nicht weiter:

Ich soll beide Seiten nach $R$ differenzieren, wobei ich links noch eine geeignete Transformation $T: x \mapsto Rx$ machen musste (hab ich gemacht, siehe unten $(\ast)$). Mein Problem: die rechte Seite nach $R$ zu differenzieren, da ich ja $R$ als Intervallgrenze habe und noch ein Integral drin; wie mache ich das?

Für die linke Seite soll ich noch $\int_{B_1(0)} (\nabla f \circ T)(x) \cdot x = \int_{B_1(0)} (\nabla f)(Rx) \cdot x$ $(\ast)$ partiell integrieren. Da weiß ich nicht, was ich wie wählen soll, ich kann als Randterm ja über den Rand $\delta B_1(0)$ integrieren, aber dann brauche ich ja den Normalenvektor $\nu$

Dann müsste die obige Aussage bewiesen sein...

Danke für jede Hilfe!


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 485
Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-16 18:41

Hallo LamyOriginal,

2021-04-16 17:49 - LamyOriginal im Themenstart schreibt:
Mein Problem: die rechte Seite nach $R$ zu differenzieren, da ich ja $R$ als Intervallgrenze habe und noch ein Integral drin; wie mache ich das?

Setze \(g(r):=\int_{\partial B_r(0)}f\,dS\). Dann ist die rechte Seite \(\int_0^R g(r)\,dr\). Wie man dies nach \(R\) differenziert, sollte Dir eigentlich aus der Schule oder dem 1. Semester bekannt sein.



2021-04-16 17:49 - LamyOriginal im Themenstart schreibt:
Für die linke Seite soll ich noch $\int_{B_1(0)} (\nabla f \circ T)(x) \cdot x = \int_{B_1(0)} (\nabla f)(Rx) \cdot x$ $(\ast)$ partiell integrieren. Da weiß ich nicht, was ich wie wählen soll, ich kann als Randterm ja über den Rand $\delta B_1(0)$ integrieren, aber dann brauche ich ja den Normalenvektor $\nu$

Der Normalenvektor auf \(\partial B_1(0)\) ist gegeben durch \(\nu(x)=x\). Bevor Du partiell integrieren kannst, musst Du noch beachten, dass \(\int_{B_1(0)} (\nabla f)(Rx) \cdot x = \int_{B_1(0)}\frac{1}{R}\nabla( f(Rx)) \cdot x\).


LamyOriginal
Aktiv
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 311
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16 19:07

Hallo sonnenschein96, danke erstmal für deine Antwort!



Setze \(g(r):=\int_{\partial B_r(0)}f\,dS\). Dann ist die rechte Seite \(\int_0^R g(r)\,dr\). Wie man dies nach \(R\) differenziert, sollte Dir eigentlich aus der Schule oder dem 1. Semester bekannt sein.

Ich erhalte: $\frac{\delta}{\delta R}\int_0^R g(r) = \frac{\delta}{\delta R} (G(R)-G(0)) = g(R)$, wie resubstituiere ich $R$ wieder?



Der Normalenvektor auf \(\partial B_1(0)\) ist gegeben durch \(\nu(x)=x\). Bevor Du partiell integrieren kannst, musst Du noch beachten, dass \(\int_{B_1(0)} (\nabla f)(Rx) \cdot x = \int_{B_1(0)}\frac{1}{R}\nabla( f(Rx)) \cdot x\).

Ich habe das $\frac{1}{R}$ vor das Integral gezogen, da es unabhängig ist von der Integrationsvariablen $x$ und "werfe" ja die Ableitung von $f$ rüber. Hier bin ich allerdings verwirrt... ich integriere ja nach $x$, aber mein $\nabla f$ wurde ja nach $R$ differenziert. Was wähle ich nun bei $\int f'\cdot g$ als $f'$? Und was wäre dann $f$?


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 485
Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-16 19:27

2021-04-16 19:07 - LamyOriginal in Beitrag No. 2 schreibt:
[...] wie resubstituiere ich $R$ wieder?

\(g(R)=\int_{\partial B_R(0)}f\,dS\)...?


2021-04-16 19:07 - LamyOriginal in Beitrag No. 2 schreibt:
Hier bin ich allerdings verwirrt... ich integriere ja nach $x$, aber mein $\nabla f$ wurde ja nach $R$ differenziert. Was wähle ich nun bei $\int f'\cdot g$ als $f'$? Und was wäre dann $f$?

Setzt Du \(h(x):=f(Rx)\), so gilt \[\int_{B_1(0)}\nabla h(x)\cdot x\,dL^n = - \int_{B_1(0)} h(x)\cdot \operatorname{div}x\,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} h(x) x\cdot\nu(x)\,dS.\]


LamyOriginal
Aktiv
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 311
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16 19:47

Danke nochmal für deine Hilfe!
$\int_{B_1(0)}\nabla h(x)\cdot x\,dL^n = - \int_{B_1(0)} h(x)\cdot \operatorname{div}x\,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} h(x) x\cdot\nu(x)\,dS $
Warum kommt hier $\operatorname{div} x$ und nicht $\nabla x$ raus?
Und wie zeige ich nun die Gleichheit davon mit $\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$ ?


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 485
Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-16 20:03

Das ist halt die Formel für mehrdimensionale partielle Integration. Da allgemein für eine Funktion \(f\) und ein Vektorfeld \(F\) gilt, dass \[\int_\Omega(\partial_jf)F_j = -\int_\Omega f(\partial_j F_j)+\int_{\partial\Omega}f F_j\nu_j,\] folgt durch Summation über \(j\), dass
\[\int_\Omega\nabla f\cdot F = -\int_\Omega f \operatorname{div}F+\int_{\partial\Omega}f F\cdot\nu.\]

Hast Du mal \(\operatorname{div}x\) ausgerechnet? Was ist \(x\cdot \nu(x)\) für \(x\in\partial B_1(0)\)?


LamyOriginal
Aktiv
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 311
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16 20:16


Hast Du mal \(\operatorname{div}x\) ausgerechnet? Was ist \(x\cdot \nu(x)\) für \(x\in\partial B_1(0)\)?

\(x\cdot \nu(x) = 1 \) für \(x\in\partial B_1(0)\), ich weiß aber leider nicht was die Divergenz von $x$ ist...



sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 485
Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-16 20:24

Per Definition gilt \(\operatorname{div}x=\sum_{j=1}^n\partial_j x_j = ...\)


LamyOriginal
Aktiv
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 311
Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16 20:32

2021-04-16 20:24 - sonnenschein96 in Beitrag No. 7 schreibt:
Per Definition gilt \(\operatorname{div}x=\sum_{j=1}^n\partial_j x_j = ...\)

Ich bin so dumm ich weiß es ehrlich nicht... 😖was sind denn die Komponenten $1,...n$?


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 485
Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-16 20:40

Du betrachtest \(B_R(0)\subseteq\mathbb{R}^n\) und \(f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\), daher stand in Deinem ersten Beitrag im Integral auch \(\,dL^n\). (Nehmen wir \(f\) mal als stetig differenzierbar an.)

Definierst Du \(g_j(x_1,\ldots,x_n):=x_j\), dann ist \(\partial_j x_j=\partial_j g_j(x)\), d.h. Du musst \(g_j\) nach der \(j\)-ten Variable ableiten.


LamyOriginal
Aktiv
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 311
Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16 20:45

Aber was sind die Variablen, nach denen abgeleitet wird? Irgendwie bin ich durcheinander. Wenn x nicht von der Variablen abhängt, nach der differenziert wird, kommt ja 0 raus


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 485
Beitrag No.11, eingetragen 2021-04-16 20:48

\(\partial_j\) bedeutet \(\partial_{x_j}\), d.h. Du leitest nach \(x_j\) ab.


LamyOriginal
Aktiv
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 311
Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16 20:54

Dann kommt da ja immer $e_j$ raus, oder?


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 485
Beitrag No.13, eingetragen 2021-04-16 21:04

Falls Du \(\nabla x_j=e_j\) meinst, dann ja. \(\partial_{x_j}x_j\) muss reellwertig sein und nicht vektorwertig.


LamyOriginal
Aktiv
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 311
Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16 21:10

Also ist $\operatorname{div} x = n$? Und $- \int_{B_1(0)} h(x)\cdot \operatorname{div}x\,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} h(x) x\cdot\nu(x)\,dS = - \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS $?
Z.z.: Gleichheit mit $\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$...


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 485
Beitrag No.15, eingetragen 2021-04-16 21:29

2021-04-16 21:10 - LamyOriginal in Beitrag No. 14 schreibt:
Also ist $\operatorname{div} x = n$?

Ja.


2021-04-16 21:10 - LamyOriginal in Beitrag No. 14 schreibt:
Z.z.: Gleichheit mit $\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$...

Aber nicht das was wir bis jetzt berechnet haben ist gleich $\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$. Du fängst so an: Nach der Transformationsformel gilt

\[\int_{B_R(0)}f\,dL^n=R^n\int_{B_1(0)}f(Rx)\,dL^n\]
und dies kannst Du mit der Produktregel nach \(R\) ableiten. Dabei stößt Du unter anderem auf einen Ausdruck der Form \(\int_{B_1(0)}(\nabla f)(Rx)\cdot x\,dL^n\), welchen Du wie eben beschrieben partiell integrieren kannst.


LamyOriginal
Aktiv
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 311
Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16 21:47

Ich habe ja die linke Seite transformiert, dann differenziere ich diese nach $R$, somit muss ich doch auch die rechte Seite nach $R$ differenzieren, oder?

Für die rechte Seite erhalte ich dann: $ =\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$



\[\int_{B_R(0)}f\,dL^n=R^n\int_{B_1(0)}f(Rx)\,dL^n\] und dies kannst Du mit der Produktregel nach \(R\) ableiten.

Dann erhalte ich: $n\cdot R^{n-1}\cdot \int_{B_1(0)} f(Rx) \,dL^n + R^n \int_{B_1(0)} (\nabla f \circ T_R)(x)\cdot x \,dL^n$

welchen Du wie eben beschrieben partiell integrieren kannst.

also mit: $\int_{B_1(0)} (\nabla f \circ T_R)(x)\cdot x \,dL^n = - \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS $, wobei $(\nabla f \circ T_R)(x) = (\nabla f(Rx))$?


LamyOriginal
Aktiv
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 311
Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16 21:51

Und $n\cdot R^{n-1}\cdot \int_{B_1(0)} f(Rx) \,dL^n + R^n (- \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS)$ muss dann gleich$\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$ sein?


LamyOriginal
Aktiv
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 311
Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16 21:57

2021-04-16 21:51 - LamyOriginal in Beitrag No. 17 schreibt:
$n\cdot R^{n-1}\cdot \int_{B_1(0)} f(Rx) \,dL^n + R^n (- \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS)$

Wobei ich hier kürzen kann: es bleibt $-R \cdot \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n + R^n \cdot \int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS$ übrig, oder?


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 485
Beitrag No.19, eingetragen 2021-04-16 22:23

2021-04-16 21:47 - LamyOriginal in Beitrag No. 16 schreibt:
$\int_{B_1(0)} (\nabla f \circ T_R)(x)\cdot x \,dL^n = - \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS $

Du hast schon wieder \(\int_{B_1(0)} (\nabla f)(Rx) \cdot x\,dL^n = \int_{B_1(0)}\frac{1}{R}\nabla( f(Rx)) \cdot x\,dL^n\) nicht beachtet, Dir fehlt also der Faktor \(\frac{1}{R}\) auf der rechten Seite.


2021-04-16 21:51 - LamyOriginal in Beitrag No. 17 schreibt:
Und $n\cdot R^{n-1}\cdot \int_{B_1(0)} f(Rx) \,dL^n + R^n (- \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS)$ muss dann gleich$\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$ sein?


Es muss dann wegen des Faktors \(\frac{1}{R}\)
$$ \begin{align*}
&n\cdot R^{n-1}\cdot \int_{B_1(0)} f(Rx) \,dL^n + R^n \frac{1}{R}\left(- \int_{B_1(0)} f(Rx)\cdot n \,dL^n+\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS\right) \\
&= R^{n-1}\int_{\partial B_1(0)} f(Rx)\,dS
\end{align*}
$$ sein. Dies ist nun gleich $\int_{\partial B_R(0)}f\,dS$.


Du erhältst damit also aus der Gleichheit der Ableitungen, dass \(\int_{B_R(0)}f\,dL^n = \int_0^R\int_{\partial B_r(0)}f\,dS\,dr + C\) mit einer Konstanten \(C\) und musst Dir noch \(C=0\) überlegen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]


LamyOriginal
Aktiv
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 311
Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16 22:28

2021-04-16 22:23 - sonnenschein96 in Beitrag No. 19 schreibt:

Du hast schon wieder \(\int_{B_1(0)} (\nabla f)(Rx) \cdot x\,dL^n = \int_{B_1(0)}\frac{1}{R}\nabla( f(Rx)) \cdot x\,dL^n\) nicht beachtet, Dir fehlt also der Faktor \(\frac{1}{R}\) auf der rechten Seite.

Ach ja... Danke auf jeden Fall für deine ausführliche Hilfe und Geduld!! Ich glaube ich lasse Mathe mal für heute, ist schon zu spät...




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=253331=403520
Druckdatum: 2021-06-17 03:41